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第一章矢量分析1 4矢量场的环量和旋度 1 主要内容 环量旋度斯托克斯定理 学习目的 掌握环量 旋度的物理意义了解环量 旋度的关系灵活运用斯托克斯定理求解矢量场 2 1 4 1矢量场的环量 环流 定义 矢量场A沿空间有向闭合曲线l的积分称为矢量场A的环量 表达式 由图 a 可见 环量取决于曲线l的绕行方向 2 若 表示该矢量场为无旋场或保守场 若 表示该矢量场为涡旋场 物理意义 1 环量用来描述产生该矢量场的旋涡源 旋涡源位于闭合曲线l包围形成的曲面内 M 3 1 4 2矢量场的旋度 如图 b 过点P作一微小曲面 S 它的边界曲线记为l 则此极限称为矢量场A在P点沿n方向的环量 面 密度或环量强度 该极限值与 S的形状无关 但与 S的方向n有关 1 环量密度 若当 S收缩至P点附近时存在极限 4 2 旋度 定义 矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为 旋度的物理意义 矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度 5 在直角坐标系下 表达式 旋度与环量密度的关系为 计算环量面密度的方法 6 旋度和散度的区别 1 矢量场的旋度是矢量 散度是标量 2 旋度描述场中各点的旋涡源强度 散度描述场中各点的通量源强度 3 旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化规律 散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律 旋度的运算规则 7 1 4 3斯托克斯定理 表达式 式中S为闭合曲线l所包围的曲面 物理含义 矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S上旋度的面积分 8 斯托克斯定理的证明 对于有限大面积S 可将其按如图 c 方式进行分割 对每一小面积元有 9 例1 11 求矢量 c是常量 沿曲线的环量 解 曲线l是以 2 0 为圆心 R为半径的圆 故线元 环量 10 方法二 由斯托克斯定理得 11 例 用以下两种方法求矢量场在点处沿方向的环量面密度 直接应用环量面密度的计算公式 作为旋度在该方向的投影 解 12 矢量的方向余弦为矢量场为由环量面密度公式将点代入上式 13 在点处旋度为方向的单位矢量在点处沿方向的环量面密度为 14 内容小结 主要概念 主要定理 斯托克斯定理 旋涡源 环量 旋度 若环量 旋度 等于零 该矢量场
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