随机过程总复习

第一章复习内容 一 期望和方差 1 期望 设离散型随机变量X的分布律为 则 设连续型随机变量X的概率密度为 则 函数期望 当X为离散型随机变量 则 当X为连续型随机变量 则 2 方差 计算方差时通常用下列关系式 称随机变量的期望为X的方差 即 3 性质 1 2 3 若X和Y相互独立 则 计算协方差时通常用下列关系式 二 协方差 三 矩母函数 1 定义 为X的矩母函数 2 原点矩的求法 称的数学期望 利用矩母函数可求得X的各阶矩 即对逐次求导并计算在点的值 3 和的矩母函数 定理1 设相互独立的随机变量的矩母函数分别为 两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们的矩母函数之积 四 特征函数 特征函数 设X为随机变量 称复随机变量的数学期望 为X的特征函数 其中t是实数 还可写成 特征函数与分布函数相互唯一确定 性质 则和 设相互独立的随机变量的特征函数分别为 的特征函数为 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积 练习 设随机变量X的概率密度函数为 试求X的矩母函数 解 练习 解 由于 所以 设随机变量X服从参数为的泊松分布 求X的特征函数 条件分布函数与条件期望 离散型 若 则称 为在条件下 随机变量Y的条件分布律 为在条件下 随机变量X的条件分布律 同样 1 条件分布函数的定义 连续型 同样 称为在条件下 随机变量X的条件分布律 称为在条件下 随机变量Y的条件分布律 注意 分母不等于0 2 条件期望的定义 离散型 其中 连续型 3 全数学期望公式 定理 对一切随机变量X和Y 有 连续型 是随机变量Y的函数 当时取值因而它也是随机变量 离散型 设二维随机向量 X Y 的联合概率密度为 解 练习 练习 对于随机变量X和Y 满足条件 则有 练习 若随机变量X和Y相互独立 满足条件 则有 一矿工困在矿井中 要到达安全地带 有三个通道可选择 他从第一个通道出去要走1个小时可到达安全地带 从第二个通道出去要走2个小时又返回原处 从第三个通道出去要走3个小时也返回原处 设任一时刻都等可能地选中其中一个通道 试问他到达安全地点平均要花多长时间 练习 解 设X表示矿工到达安全地点所需时间 Y表示他选定的通道 则 所以 第二章复习内容 随机过程的分类 T离散 I离散 T离散 I连续 参数T状态I分类 T连续 I离散 T连续 I连续 Poisson过程是参数状态的随机过程 Brown运动是参数状态的随机过程 离散 连续 连续 连续 练习 袋中放有一个白球 两个红球 每隔单位时间从袋中任取一球 取后放回 对每一个确定的t对应随机变量 试求这个随机过程的一维分布函数族 分析 先求的概率分布 所以 解 随机过程的数字特征 2 方差函数 1 均值函数 3 协方差函数 注 4 自相关函数 注 5 互协方差函数 6 互相关函数 练习 解 求 1 均值函数 2 协方差函数 3 方差函数 1 2 3 练习 解 试求它们的互协方差函数 所以 1 严平稳过程 定义1 则称为严平稳过程 严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的 2 宽平稳过程 定义2 如果它满足 则称为宽平稳过程 简称平稳过程 因为 均值函数 注 3 可等价描述为 注2 注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程 若严平稳过程存在二阶矩 则它一定是宽平稳过程 宽平稳过程也不一定是严平稳过程 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变 这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移 性质1 平稳过程相关函数的性质 1 自相关函数的性质 性质2 性质3 2 协方差函数的性质 性质2 性质3 性质1 练习 解 的随机变量序列 则 令 练习 独立增量过程 时齐的 定义3 1 1 第三章复习内容 定义3 1 2 定义3 1 2的等价定义 显见Poisson过程本身不是平稳过程 其增量是平稳过程 解 练习 设N t 是参数为的Poisson过程 事件发生时刻在已知N t 2的条件下的联合概率密度为 练习 重要结论 解 没被维修过的概率 练习 维修过一次的概率 例1 解 设顾客到达某商场的过程是泊松过程 已知平均每小时有30人到达 求下列事件的概率 两个顾客相继到达的时间间隔 1 超过2分钟 2 在1分钟到3分钟之间 若以分钟为单位 顾客到达数是强度为的泊松过程 则顾客到达的时间间隔服从参数为的指数分布 其密度函数为 故 例2 一理发师在t 0时开门营业 设顾客按强度为 的泊松过程到达 若每个顾客理发需要a分钟 a是正 常数 求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的 概率及到达后等待时间S的平均值 解 设第一个顾客的到达时间为T1 第二个顾客的 到达时间为T2 令X2 T2 T1 则第二个顾客到达 后不需等待等价于X2 a 由定理知X2服从参数为 的指数分布 故 等待时间 考虑一特定保险公司的全部赔偿 设在 0 t 内投保死亡的人数N t 是发生率为的泊松过程 设是第n个投保人的赔偿价值 独立同分布 表示 0 t 内保险公司必须付出的 全部赔偿 练习 解 第四章更新过程 1 更新过程的定义设 Xn n 1 是独立同分布的非负随机变量 分布函数为F x 且F 0 1 令 记 称 N t t 0 更新过程 2 更新函数令M t E N t 称M t 为更新函数 Theorem 3 更新方程设M t 为更新函数 其导数称为更新密度 记为m t 则 其中是的密度函数 定义 更新方程 如下形式的积分方程称为更新方程 其中H t F t 为已知 且当t 0时 H t F t 均为0 当H t 在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程 简称更新方程 更新方程的解定理 设更新方程中H t 为有界函数 则方程存在惟一的在有限区间内有界的解 更新定理 1 初等更新定理 设 则 2 布莱克威尔 Blackwell 定理设F x 为非负随机变量X的分布函数 1 若F x 不是格点的 则对任意的a 0 有 2 若F x 是格点的 周期为d 则 P 在nd处发生更新 容易看出 初等更新定理是Blackwell定理的特殊情况 记 设h t 0满足 1 h t 非负不增 2 H t 是更新方程 的解 那么 1 若F x 不是格点的 3 关键更新定理 2 若F x 是格点的 对于 注 关键更新定理与布莱克威尔 Blackwell 定理是等价性的 第五章复习内容 马尔可夫性即无后效性 状态的分类及性质是重点 互通 类 不可约 周期等概念 状态i 非常返 常返 正常返 零常返 平稳分布与极限分布 重点 研究状态的关系 重点 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 一步转移矩阵为 解 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 一步转移矩阵为 解 状态转移图如右 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 一步转移矩阵为 解 显然 此链具有遍历性 由 解得 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 3 一步转移矩阵为 解 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 3 一步转移矩阵为 解 2 经两步转移后处于状态3的概率为 设马氏链的状态空间为 1 2 3 4 一步转移矩阵为 试研究其状态关系 解 状态转移图如下 练习 故状态1与2都是正常返状态 又因周期都是1 故都为遍历状态 故状态3是非常返状态 故状态4是吸收状态 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 一步转移矩阵为 解 练习 设马氏链的状态空间为 1 2 一步转移矩阵为 解 第六章复习内容 了解上鞅 下鞅 鞅的定义 上鞅 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅下鞅 上鞅 下鞅上鞅 下鞅 下鞅 上鞅 练习 第七章复习内容 Brown运动的定义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 练习 重要结论 Brown运动具有Ma