二次函数解析式求解策略.doc

二次函数解析式求解策略二次函数的解析式有三种基本形式：1.一般式：y=ax2+bx+c (a0) ，若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式.2.顶点式：y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h.若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式.3.交点式：y=a(xx)(xx) (a0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标.若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.思路1、设一般式：y=ax2+bx+c列方程组求a、b、c。例1.已知二次函数的图象过（1，9）、（1，3）和（3，5）三点，求此二次函数的解析式。思路2、设顶点式：y=a(xh)+k列方程求a。例2、（2008徐州）已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5），求该函数的关系式.思路3、设交点式：y=a(xx)(xx)求a。例3、（2008泸州）已知二次函数的图像经过三点A，B，C求该二次函数的解析式，思路4、利用二次函数的对称性设交点式求解。例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像的顶点C为(2，-1)，且在x轴上截得的线段AB的长为2求二次函数的解析式思路5、由已知图象的平移求解析式。一般是把已知图象的解析式写成的形式，若图象向左（右）移动个单位，括号里的值就加（减）个单位；若图象向上（下）平移个单位，的值就加（减）个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。例5、把二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，求所得二次函数的解析式。思路6、已知一个二次函数，要求其图象关于轴对称（可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（可以说抛物线图象绕顶点旋转180）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成的形式。（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数。（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同。（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数。例6；已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称。练习：1、已知抛物线的顶点坐标为（1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式。2、已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是 Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y3y2 二次函数解析式求解策略二次函数的解析式有三种基本形式：1.一般式：y=ax2+bx+c (a0) ，若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式.2.顶点式：y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h.若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式.3.交点式：y=a(xx)(xx) (a0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标.若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.思路1、设一般式：y=ax2+bx+c列方程组求a、b、c。例1.已知二次函数的图象过（1，9）、（1，3）和（3，5）三点，求此二次函数的解析式。解析：本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得：解得所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5思路2、设顶点式：y=a(xh)+k列方程求a。例2、（2008徐州）已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5），求该函数的关系式.解析：本题已知顶点，可用顶点式.设该函数解析式为y=a(x+1)2-2.因为函数及经过点（2，5），则：a(2+1)2-2=-5，解得a=-1所以该函数的关系式为y=-1(x+1)2-2.思路3、设交点式：y=a(xx)(xx)求a。例3、（2008泸州）已知二次函数的图像经过三点A，B，C求该二次函数的解析式，解析：本题已知交点，可用交点式.设该函数解析式为y=a（x+1）(x-3),因为图像经过（0，3）,所以a（0+1）(0-3)=3，解得a=-1所以该函数解析式为y=-1（x+1）(x-3).思路4、利用二次函数的对称性设交点式求解。例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像的顶点C为(2，-1)，且在x轴上截得的线段AB的长为2求二次函数的解析式解析：由C点坐标(2，-1)可知，OD=2AB=2， DA=DB=1，OA=1， OB=3，A、B的坐标分别为 A(1，0)，B(3，0)，设所求二次函数的解析式为 由C点坐标(2，-1)可得， 故所求的抛物线的解析式为=思路5、由已知图象的平移求解析式。一般是把已知图象的解析式写成的形式，若图象向左（右）移动个单位，括号里的值就加（减）个单位；若图象向上（下）平移个单位，的值就加（减）个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。例5、把二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，求所得二次函数的解析式。解析：向右平移2个单位得：即：再向上平移3个单位得：即：所求二次函数解析式为。思路6、已知一个二次函数，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成的形式。（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数。（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同。（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数。例6；已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称。解：可转化为，据对称式可知图象关于轴对称的图象的解析式为，即：。图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即。练习：1、已知抛物线的顶点坐标为（1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式。解析：因为顶点坐标为（1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： ， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法：设抛物线的函数关