线面角的求法总结

线面角的三种求法线面角的三种求法 1 直接法 直接法 平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角 通常 是解由斜线段 垂线段 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形 垂线段是其中最重要 的元素 它可以起到联系各线段的作用 例例 1 如图 1 四面体 ABCS 中 SA SB SC 两两垂直 SBA 45 SBC 60 M 为 AB 的中点 求 1 BC 与平面 SAB 所成的角 2 SC 与平面 ABC 所成的角 解 1 SC SB SC SA B M H S C A 图 1 SC 平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影 SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60 2 连结 SM CM 则 SM AB 又 SC AB AB 平面 SCM 面 ABC 面 SCM 过 S 作 SH CM 于 H 则 SH 平面 ABC CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影 SCH 为SC与平面ABC所成的角 sin SCH SH SC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 7 7 垂线 是相对的 SC 是面 SAB 的垂线 又是面 ABC 的斜线 作面的垂线常根据面 面垂直的性质定理 其思路是 先找出与已知平面垂直的平面 然后一面内找出或作出交 线的垂线 则得面的垂线 2 利用公式利用公式sin h h 其中 是斜线与平面所成的角 h是 垂线段的长 是斜线段的长 其中求出垂线 段的长 即斜线上的点到面的距离 既是关键又是难点 为此可用三棱锥的体积自等来求 垂线段的长 例例 2 如图 2 长方体 ABCD A1B1C1D1 AB 3 BC 2 A1A 4 求 AB 与面 AB1C1D 所成的角的正弦值 A1 1 C1 1 D1 1 H 4 C B1 1 2 3 B A D 解 设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h VB AB1C1 VA BB1C1 1 3 S AB1C1 h 1 3 S BB1C1 AB 易得 h 12 5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为 则sin h AB 4 5 图2 3 利用公式利用公式 cos cos cos 1 1 cos cos 2 2 已知 如图 是平面的斜线 是斜足 垂直于平面 为垂足 AO AOB B 则直线是斜线在平面内的射影 设是平面内的任意一条直线 AB AC 且 垂足为 又设与所成角为 与所成BCAC CAOAB 1 ABAC 角为 与所成角为 则易知 2 AOAC 1 cosABAO 212 cos coscosACABAO 又 cosACAO 可以得到 12 coscoscos 注意 2 0 2 易得 又即可得 1 coscos 1 0 2 1 则可以得到 平面的斜线和它在平面内的射影所成角 是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中平面的斜线和它在平面内的射影所成角 是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中 最小的角 最小角定理 最小的角 最小角定理 例例 3 如图 4 已知直线 OA OB OC 两两所成的角为 60 求直线 OA 与 面 OBC 所 成的角的余弦值 解 AOB AOC OA 在面 OBC 内的射影在 BOC 的平分线 OD 上 则 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角 可知 DOC 30 cos AOC cos AOD cos DOC cos60 cos AOD cos30 cos AOD 3 3 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为 3 3 O D A C B 图 4 练习练习 如图 在正方体中 求面对角线与对角面所成的角 1 AC 1 AB 11 BB D D 2 1 O C B A 解 法一 连结与交于 连结 11 AC 11 B DOOB 平面 111 DDAC 1111 B DAC 1 AO 11 BB D D 是与对角面所成的角 1 ABO 1 AB 11 BB D D 在中 1 Rt ABO 11 1 2 AOAB 1 30ABO 法二 由法一得是与对角面所成的角 1 ABO 1 AB 11 BB D D 又 11 2 coscos45 2 ABB 1 1 6 cos 3 B B B BO BO 11 1 1 2 cos3 2 cos cos26 3 ABB ABO B BO 1 30ABO 基础知识精讲基础知识精讲 1 直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系 1 直线在平面内 直线上的所有点在平面内 根据公理 1 如果直线上有两个点在 平面内 那么这条直线上所有点都在这个平面内 直线 a 在平面 内 记作 a 2 直线和平面相交 直线和平面有且只有一个公共点 记作 a A 3 直线和平面平行 如果一条直线和一个平面没有公共点 那么这条直线和这个平 面平行 记作 a 直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外 记作 a 2 直线和平面平行的判定 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面 平行 简记 线线平行 则线面平行 即 a b a b a 证明 直线和平面平行的方法有 依定义采用反证法 利用线面平行的判定定理 面面平行的性质定理也可证明 3 直线和平面平行的性质定理 性质 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这 条直线就和交线平行 简记为 线面平行 线线平行 即 a a ba b 这为证线线平行积累了方法 排除异面与相交 公理 4 线面平行的性质定理 重点难点解析重点难点解析 1 B 1 A 1 C A B C 1 D D O 本节重点是直线与平面的三种位置关系 直线和平面平行的判定和性质 难点是直线 和平面平行的性质的应用 例例 1 1 如图 ABCD 和 ABEF 均为平行四边形 M 为对角线 AC 上的一点 N 为对角线 FB 上的一点 且有 AM FN AC BF 求证 MN 平面 CBE 分析分析 欲证 MN 平面 CBE 当然还是需要证明 MN 平行于平面 CBE 内的一条直线才行 题目上所给的是线段成比例的关系 因此本题必须通过三角形相似 由比例关系的变通 才能达到 线线平行 到 线面平行 的转化 证证 连 AN 并延长交 BE 的延长线于 P BE AF BNP FNA 则 即 又 MN CP CP平面 CBE MN 平面 CBE 例例 2 2 一直线分别平行于两个相交平面 则这条直线与它们的交线平行 已知 a l l 求证 l a 分析分析 由线面平行推出线线平行 再由线线平行推出线面平行 反复应用线面平行的 判定和性质 证明证明 过 l 作平面交 于 b l 由性质定理知 l b 过 l 作平面交 于 c l 由性质定理知 l c b c 显然 c b 又 b a b a 又 l b l a 评注评注 本题在证明过程中注意文字语言 符号语言 图形语言的转换和使用 例例 3 3 如图 在正四棱锥 S ABCD 中 P 在 SC 上 Q 在 SB 上 R 在 SD 上 且 SP PC 1 2 SQ SB 2 3 SR RD 2 1 求证 SA 平面 PQR 分析分析 根据直线和平面平行的判定定理 必须在平面 PQR 内找一条直线与 AS 平行即可 证 证 连 AC BD 设交于 O 连 SO 连 RQ 交 SO 于 M 取 SC 中点 N 连 ON 那么 ON SA RQ BD 而 PM ON SA ON SA PM PM平面 PQR SA 平面 PQR 评析评析 利用平几中的平行线截比例线段定理 三角形的中位线性质等知识促成 线线平行 向 线面平行 的转化 例例 4 4 证明 过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线 在这平面上 证明证明 如图 设直线 a 平面 点 A A 直线 b b a 欲证 b 事实上 b a 可确定平面 与 有公共点 A B 交于过 A 的直线 c a a c 从而在 上有三条直线 其中 b c 均过点 A 且都与 a 平行 于是 b c 重合 即 b 难题巧解点拨难题巧解点拨 例例 1 1 S 是空间四边形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点 E F 分别在 AD CD 上 且 AE AD CF CD BE 与 AS 相交于 R BF 与 SC 相交于 Q 求证 EF RQ 证证 在 ADC 中 因 AE AD CF CD 故 EF AC 而 AC平面 ACS 故 EF 平面 ACS 而 RQ 平面 ACS 平面 RQEF 故 EF RQ 线面平行性质定理 例例 2 2 已知正方体 ABCD A B C D 中 面对角线 AB BC 上分别有两点 E F 且 B E C F 求证 EF 平面 AC 分析分析 如图 欲证 EF 平面 AC 可证与平面 AC 内的一条直线平行 也可以证明 EF 所 在平面与平面 AC 平行 证法证法 1 1 过 E F 分别做 AB BC 的垂线 EM FN 交 AB BC 于 M N 连接 MN BB 平面 AC BB AB BB BC EM AB FN BC EM FN AB BC B E C F AE BF 又 B AB C BC 45 Rt AME Rt BNF EM FN 四边形 MNFE 是平行四边形 EF MN 又 MN平面 AC EF 平面 AC 证法证法 2 2 过 E 作 EG AB 交 BB 于 G 连 GF B E C F B A C B FG B C BC 又 EG FG G AB BC B 平面 EFG 平面 AC 又 EF平面 EFG EF 平面 AC 例例 3 3 如图 四边形 EFGH 为四面体 A BCD 的一个截面 若截面为平行四边形 求证 1 AB 平面 EFGH 2 CD 平面 EFGH 证明 证明 1 EFGH 为平行四边形 EF HG HG平面 ABD EF 平面 ABD EF平面 ABC 平面 ABD 平面 ABC AB EF AB AB 平面 EFGH 2 同理可证 CD EH CD 平面 EFGH 评析 评析 由线线平行线面平行线线平行 课本难题解答课本难题解答 1 求证 如果两条平行线中的一条和一个平面相交 那么另一条也和这个平面相交 已知 a b a A 求证 b 和 相交 证明 证明 假设 b 或 b 若 b b a a 这与 a A 矛盾 b 不成立 若 b 设过 a b 的平面与 交于 c b b c 又 a b a c a 这与 a A 矛盾 b 不成立 b 与 相交 2 求证 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条 那么它们的交线和这条 直线平行 已知 a b a b c 求证 c a b 命题趋势分析命题趋势分析 本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定 直线与平面平行的证明与应用 它是高 考中常考的内容 难度适中 因此学习好本节内容至关重要 典型热点考题典型热点考题 例例 1 1 在下列命题中 真命题是 A 若直线 m n 都平行平面 则 m n B 设 l 是直二面角 若直线 m l 则 m n m C 若直线 m n 在平面 内的射影是一个点和一条直线 且 m n 则 n 在 内或 n 与 平行 D 设 m n 是异面直线 若 m 和平面 平行 则 n 与 相交 解解 对于直线的平行有传递性 而两直线与平面的平行没有传递性故 A 不正确 平面 与平面垂直可得出线面垂直 要一直线在一平面内且垂直于交线 而 B 中 m 不一定在 内 故不正确 对 D 来说存在平面同时和两异面直线平行 故不正确 应选 C 例例 2 2 设 a b 是两条异面直线 在下列命题中正确的是 A 有且仅有一条直线与 a b 都垂直 B 有一平面与 a b 都垂直 C 过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D 过空间中任一点必可作一条直线与 a b 都相交 解解 因为与异面直线 a b 的公垂线平行的直线有无数条 所以 A 不对 若有平面与 a b 都垂直 则 a b 不可能 所以 B 不对 若空间的一点与直线 a 或 b 确定的平面与另 一条