圆的标准方程教学案例设计

1 圆的标准方程 教学案例设计 一 教学设想 圆的标准方程处于数学必修 2 中的最后一章的第一节 它位于曲线的方程和方程之后 是求具体曲线的方程 研究二次曲线的开始 对后续直线与圆的位置关系 圆 锥曲线等内容的学习 无论在知识上还是方法上都有着 积极的意义 所以本节内容在整个解析几何中起着承前 启后的作用 是本章的核心概念 也是解析几何中的基本 概念 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后 又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的 但由于学生学习解析几何的时间还不长 学习程度较浅 且对坐标法的运用还不够熟练 在学习过程中难免会出 现困难 另外学生在探究问题的能力 合作交流的意识等 方面有待加强 本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学 在探究 过程中 教师着眼于 导 采用问题驱动的形式 激 发学生的求知欲望 学生着眼与 探 通过探究发现 规律 发展探索能力和创造能力 通过推导圆的标准方程 加深对用坐标法求轨迹方程的 理解 通过求圆的标准方程 理解必须具备三个独立的条 件才可以确定一个圆 通过应用圆的标准方程 熟悉用待 定系数法求解的过程 二 教学目标 1 知识与技能目标 通过圆的本身特性 用代数的语言描述它 用代数 的工具解决它的问题 进一步体现解析几何的思想和待 定系数法的应用 2 过程与方法目标 在回忆直线方程的基础上 用方程语言刻画圆的特征 通过具体例题 思考 探究练习中的问题 再用所学的 知识解决一个实际问题 做到学以致用 2 3 情感 态度与价值观目标 培养学生联系旧知识 提出问题 解决问题的探究 能力 进一步提高学生学习数学的兴趣 三 教学重点 1 对圆的方程的理解 2 待定系数法求圆的方程 四 教学难点 待定系数法的掌握和应用 五 教学方法 引导法 讨论法 讲授法 六 教学手段 多媒体 七 课时安排 一课时 八 教学过程 1 导入 多媒体课件显示图片 生活中的圆 提问 什么是圆 我们初中时怎么给圆下的定义 在平面直角 坐标系中 如何确定一个圆 平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 定点 是圆心 定长是圆的半径 圆心和半径分别确定了圆的 位置和大小 现在我们求以 C a b 为圆心 r 为半径的圆的方程 2 新课 首先我们建立一个直角坐标系 设点 M x y 是圆上任意一点 那点 M 在圆上的条件是 MC r 那么由我们已经学过的两点间的距离公式 所 说条件可以转化为方程表示 将上式两边平方得 x a 2 y b 2 r2 1 显然 圆上任意一点 M 的坐标 x y 适合方程 1 如果平面上一点 M 的坐标 x y 适合方程 1 可得 MC r 则点 M 在圆上 所以方程 1 是以 C a b 为圆心 r 为半径的圆的方 程 我们把它叫做圆的标准方程 那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点 思考 一下当圆心在原点时 x 轴上 y 轴上时 圆的方程是 3 什么 这是二元二次方程 展开后没有 xy 项 括号内变数 x y 的系数都是 1 点 a b r 分别表示圆心的坐标和 圆的半径 且当圆心在原点即 C 0 0 时 方程为 x2 y2 r2圆 心在x轴上时 222 ryax 0 r 圆心在 y 轴上时 222 rbyx 0 r 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 从而确定了圆 所以 只要 a b r 三个量确定了且 r 0 圆的方程就 给定了 这就是说要确定圆的方程 必须具备三个独立 的条件 注意 确定 a b r 可以根据条件 利用待 定系数法来解决 观察这个标准方程 总结一下它的特点 1 有两个变量 x y 形式都是与某个实数差的平方 2 两个变量的系数都是 1 3 方程的右边是某个实数的平方 也就是一定为正 数 3 练习 我们对于刚才的结论做一些相应的练习 加深影响 练 习 1 根据已知条件写出下列圆的方程 圆心坐标为 2 1 半径为 3 圆心为 2 1 且过点 3 3 圆心为 3 1 且与直线 3x 4y 6 0 相切 练习 2 根据下列方程 指出圆的圆心位置以及半径 1 22 2 3 5xy 2 222 xmyna 注意 这里的 a 并不一定是半径 半径应该是 a 练习 3 判断下列点是否在圆 22 3 2 16xy 上 1 A 3 0 2 B 1 1 3 C 2 2 再问 不在圆上的点是在圆内还是圆外 如何判定 要时刻注意圆的标准方程的形式是有其重要的几何意义 4 的 它的左边就表示到圆心距离的平方 所以 将点的 坐标代入圆的方程 如果坐标等于右边 则在圆上 若 左边大于右边 则说明距离原点的距离大于半径 一定 是在圆外 若左边小于右边 则在圆内 即 222 xaybr 点 x y 在圆上 222 xaybr 点 x y 在圆外 222 xaybr 点 x y 在圆内 4 思考 如何确定一个圆 除了刚才所说的一个圆心和半径 还 有什么 几个点可以确定一个圆 三个不在同一条直线 上的点可以确定一个圆 那么给出三个点的坐标 例 1 已知 A 5 1 B 7 3 C 2 8 则写出过这三个点的 圆的方程 分析 相当于求三角形 ABC 的外接圆的方程 要想写 出方程 必须知道圆心和半径 如何求圆心和半径呢 根据外接圆的性质 圆心应该是三条边的垂直平分线的 交点 所以可以根据顶点坐标求出垂直平分线的方程 在求出平分线的交点坐标即圆心坐标 在根据两点间距 离公式求半径的长度 当然这样做虽然很麻烦 但毕竟 我们用我们以前所学的知识找到了解决问题的办法 那 么现在再想想 有没有别的出路 要求圆的方程 不如先设出它的方程来 再解出未知数 设该圆的方程为 222 xaybr 根据条件 三个 点的坐标都满足该方程 列出式子 解出未知数 a b r 即可 解 设该圆的方程为 222 xaybr 则 222 222 222 5 1 7 3 2 8 abr abr abr 解出 a 2 b 3 r 5 所以 圆的标准方程为 22 2 3 25xy 这种方法在数学中很常见 叫做待定系数法 就是要求 5 什么就把未知数先设出来 然后根据条件列方程解出未 知数来 总结就是三步 设 列 解 这种方法易于思 考 易于列式子 难点就是解未知数时 有时会遇到困 难 这就需要同学们有扎实的计算和观察能力 也需要 同学们平时多多练习 数学总是熟能生巧的 再来思考一道更加复杂一些的题目 例 2 已知圆心为 C 的圆经过点 A 1 1 和 B 2 2 且圆心 C 在直线 L x y 1 0 上 求圆心为 C 的圆的标准方程 分析 1 利用图像的性质 圆心一定在线段 AB 的垂直 平分线上 又已知在直线 L 上 所以先求出 AB 的垂直 平分线方程 和直线 L 的方程联立 解出圆心坐标 在 计算出半径 即可写出圆的标准方程 这叫数形结合法 2 那么利用我们刚才所学的待定系数法可以解 决问题吗 设出圆的方程 已知两点坐标代入得到两个 方程 又将圆心代入直线 L 的方程列一个方程 三个方 程 三个未知数 解出即可 5 应用 下面我们来看一个实际的问题 大家都知道我国著名的 赵州桥 建于 1500 年 单圆拱石桥 全长 64 4 米 最 大圆拱跨径 37 4 米 拱高 7 2 米 设计思想和建造工艺 事世界石拱桥的卓越典范 它的建造是中国古代数学 物理学 工程学的结晶 体现了中国古代劳动人民的智 慧和力量 你能确定圆拱所属圆的圆心和半径吗 我们把它抽象成简单的数学模型 A B D C 在此基础上建立坐标系 根据已知条件可以得到 6 A B C D 点的坐标 则利用待定系数法便可解出未知数 求出圆心坐标以及半径 6 小结 我们今天主要学习了圆的标准方程 以及如何判断点与 圆的位置关系 如何根据已知条件求出圆的方程 在练 习过程中