精选总结-大学物理振动和波动课件讲义

振动和波动 第四篇 1 第19章 振动 1940年美国塔科马海峡大桥断塌 2 振动 vibration 是自然界中最普遍的一种运动形式 物体在平衡位置附近做往复的周期性运动 称为机械振动 电流 电压 电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化 称为电磁振动或电磁振荡 虽然各种振动的具体物理机制可能不同 但是作为振动这种运动的形式 它们却具有共同的特征 广义振动 任一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动称为振动 如物理量 引言 3 简谐振动 振动的形式 4 最基本 最重要的振动形式是简谐振动 S H V simpleharmonicvibration 一般运动可以看作是多个简谐振动的合成也可以说S H V 是振动的基本模型或说振动的理论建立在S H V 的基础上本章将以 机械振动为例说明振动的一般性质 5 1简谐振动的描述 运动学和动力学 2简谐振动的能量 3简谐振动的合成 4阻尼振动与阻尼受迫振动 6 F kx 当物体相对于平衡位 并令 则有 1简谐振动描述 一 简谐振动的定义 谐振动方程 又由 置的位移为x时 以弹簧原长为坐标原点 定义 物体离开平衡位置的位移按余弦函数 或正弦函数 的规律随时间变化的振动 称为简谐振动 弹簧振子 F kx 7 简谐振动的判据 1 运动学表达式 弹簧谐振子 2 动力学方程 加速度与位移成正比而反向 F kx 合外力与位移成正比而反向 准弹性力 恢复力 8 1 振幅A A xmax 振动物体离开平衡位置的最大距离 二 简谐振动的三个特征量 表征了系统的能量 振幅 最大位移 由初始条件决定 9 2 周期和频率 表示 2 s时间内物体所作完全振动的次数 反映系统的周期性固有的性质称固有周期 固有频率 圆频率 角频率 频率 周期 振动一次所需时间 单位时间内的振动次数 10 3 相位和初相 确定 决定振动物体的运动状态 称为相位 初相 位 知 t时刻的相位 t 0时相位 初相反应了t 0时刻的振动状态 x0 0 v0 Asin x0 Acos 得 A和的值由初始条件 x0 v0 确定 即 确定 位相 周相 11 位相差 0 称x2比x1超前 x1比x2落后 若 相的概念在比较两个谐振动的步调时也很有用 两个频率相同的谐振动在某一时刻的相位差等于它们的初相差 2比1超前 x2比x1较早达到正最大 12 若 称x2和x1同相 k为整数 若 称x2和x1反相 13 三 简谐振动的描述 1 解析描述 均是作谐振动 频率相同 振幅的关系 相位的关系 超前 比 14 根据画出 2 曲线描述 x t振动曲线 同样可画 又 要能由图得知初始条件 x0 v0 等 例19 1已知某简谐振动曲线如图 求其振动方程 x0 0 v0 Asin 由图可知 x0 Acos 可得 设振动方程为 解 v0 0 16 解 例19 2两个谐振动的振动曲线如图所示 则x1的相位比x2的相位超前 由图 x1比x2在时间上超前3T 8 因此 相位超前 17 3 旋转矢量描述 用匀速圆周运动几何地描述S H V 规定 振幅矢量 矢量端点在x轴上的投影点的运动 逆时针转 以匀角速度 18 x x t 旋转矢量的长度 振幅 旋转矢量 旋转的角速度 圆频率 角频率 矢量与x轴的夹角 位相 t 0时与x轴的夹角 初位相 参考圆 矢量端点的投影坐标 振动的位移 旋转的振幅矢量 x Acos t 矢量端点的线速度投影 振动速度 上负下正 19 1 直观地表达振动状态 易于确定位相 v 0 v 0 例如 已知某时刻质点经二分之一振幅处向正方向运动 确定其振动状态 则由旋转矢量图可知 20 0 x0 A 初相 x0 0且向负最大位移运动 初相 x0 A 初相 x0 0且向正最大位移运动 初相 2 2 21 由图看出 速度超前位移 加速度超前速度 2 方便地比较振动步调 易于求位相差 加速度与位移 反相 22 3 方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例19 3质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子 t 0时质点过平衡位置且向正方向运动 求物体运动到负二分之一振幅处所用的最短时间 解 设t时刻到达末态由已知画出t 0时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图 23 解 设t时刻到达末态由已知画出t 0时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为 得 繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得 因为 24 例19 4某简谐振动的振动曲线如图 则振动方程为 解 A 2cm t 0 向负最大位移运动 又 t 1s时 设振动方程为 t 0时 2 25 o x 例19 5两个相同的水平弹簧振子 振幅均为A 某时刻振子1沿x轴反方向运动至平衡位置 而振子2刚好沿x轴反方向运动至A 2处 解作出两个旋转矢量 如图 试求这两个振子的初相差 得 26 例19 6质点的振动规律用余弦函数描述 其速度 时间曲线如图 则其初相应为 解 设 则 t 0时 有 27 t 0时 有 t 0旋矢图 t 0 向正最大速度运动 28 振动1的表达式 x1 Acos t 2 振动2的表达式 x2 Acos t 4 t2 x 表达式 旋转矢量图 曲线曲线 旋转矢量图 表达式旋转矢量图 曲线 表达式 3种表示形式的一致性 t 0时 29 t 30 t 31 t 32 t 33 t 34 t 35 t 36 t 37 t 38 t 39 t 40 t 41 t 42 t 43 t 44 t 45 t 46 t 47 t 48 t 49 t 50 t 51 t 52 t 53 t 54 t 55 摆球相对平衡位置的角位移为 时 单摆 则 所以 F mgsin ma m 四 简谐振动的实例 取逆时针方向为正 56 单摆的运动在摆角很小时是简 角 谐振动 单摆的谐振动表达式为 其中 m为最大角位移 即 角 振幅 利用该式可测重力加速度 其周期为 57 物理摆 的振动 对比谐振动方程知 但若做小幅度摆动即 很小 由转动定律 得 一般情况不是简谐振动 时 满足方程 复摆 58 振动的物理量 固有圆频率 角位移 振动表达式 测J的一种方法 特殊情形 单摆 细杆 长l 59 l0 m 例19 7上端固定的弹簧原长为l0 50cm 下端挂一质量为m 100g的砝码 当砝码静止时 弹簧长为l 60cm 若将砝码向上推 使弹簧回到原长 然后突然放手 砝码开始上下运动 l m 1 证明砝码的上下运动为简谐振动 2 求振动的圆频率 频率和振幅 3 设从放手开始计算时间 写出位移 速度对时间的函数关系 60 砝码被上推到弹簧原长 再放手后开始向下运动 其起始位置在x0 l 当它运动到任意位置x时 弹簧伸长量为 x l 弹性恢复力为 x x l0 解 取x轴垂直向下 以弹簧的平衡位置为坐标原点 设弹簧的劲度系数为k 平衡时弹簧的伸长量为 l mg k l 0 F k x l 则 k l o x0 l mg 61 1 由以上得运动方程 即 为谐振动运动方程 2 由方程得 频率 周期 圆频率 62 砝码被上推到弹簧原长 再放手后开始向下运动 o x x l0 x0 k l 所以得到初始条件 x0 0 1m v0 0 并且t 0时v 0 由初始条件得 or0 63 再由t 0时 v 0 得 简谐振动的动力学解法 1 分析受力 力矩 列牛顿 转动 定律方程 2 由谐振动运动方程求得圆频率 3 x Acos t 0 1cos 9 9t m 64 平衡条件 例19 8弹簧振子置于光滑斜面上 如图 求其动力学方程 解 任意位置x处受的合力 以弹簧的平衡位置为坐标原点 图中的o点 x0 65 牛 特殊情形 0 水平弹簧振子 90 竖直弹簧振子 动力学方程不变 角频率不变 66 动能 势能 机械能 简谐振动系统的总机械能守恒 以水平弹簧振子为例 E A2 普适 简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比 2简谐振动的能量 67 x t T E Ep Ek 1 2 kA2 o 系统势能的平均值 E 能量 时间关系曲线 68 例19 9系统作谐振动 周期为T 以余弦函数表达振动时 初相为零 则在0 t T 2范围内 系统在t 时刻动能和势能相等 解 按题意 旋矢图 69 解 单摆的悬线长l2 1 5m 在顶端固定点的下方0 45m处有一小钉 如图示 设两方摆动均较小 则单摆的左右两方振幅之比A1 A2为 机械能守恒 于是 例19 10 70 一 同方向同频率两谐振合成二 同方向不同频率两谐振合成 拍三 两个相互垂直简谐振动的合成同频率不同频率 3简谐振动的合成 一质点同时参与两种振动 71 当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题本节只讨论满足线性叠加的情况本节所讨论的同频率的谐振动合成结果是波的干涉和偏振光干涉的重要基础本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果可以给出重要的实际应用 72 3简谐振动的合成 一质点同时参与两种振动 1 同方向同频率两谐振合成 分振动 合振动 x x1 x2 合振动是简谐振动 频率 解析法 矢量法 双光束干涉的理论基础 线性叠加得 73 两种特殊情况 若两分振动同相 若两分振动反相 则A A1 A2 振动加强 则A A1 A2 振动减弱 若 两振动同相 可能的最强振动 两振动反相 振动加振动 不振动 质点处于静止 位相差的重要性 2k k 0 1 2 2k 1 k 0 1 2 74 例19 11一质点同时参与两个同方向同频率的简谐振动 其振动方程分别为 x1 5 10 2cos 4t 3 SI x2 3 10 2sin 4t 6 SI 用两种方法求合振动的振幅 初相 解 用公式 10 3 20 6 x2 3 10 2cos 4t 6 2 20 2 3 3 4 3 t 0时 x0 x10 x20 2 5 10 2m 1 5 10 2m 0 75 旋转矢量法 x o x1 5 10 2cos 4t 3 SI x2 3 10 2cos 4t 2 3 SI 作出两个分振动的旋转矢量 如图 方向相同 所以 矢量合成法则 方向相反 由于 则易由 求得合矢量 与 76 例19 12两个简谐振动的振动曲线如图 则它们合成的余弦振动的初相为 解 合振动 0 2 旋矢图 77 设分振动 线性相加 二 同方向 不同频率 振幅相等的两谐振合成 拍 结论 合振动已不再是谐振动若 1 2可以用谐振动表达式等效加深认识 78 若 则 较 随时间变化缓慢 将合成式写成谐振动形式 合振动的振幅 79 合振动可看做是振幅缓慢 周期变化的谐振动合成振动如图示 表达式为 拍的形成 80 拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频 测未知频率的一种方法 由式 得 81 三 两个振动方向相互垂直的谐振动的合成1 同频率的谐振动合成 消去参数t 得合运动的轨迹方程 一般而言 这是一个椭圆方程 椭圆的性质 方位 长短轴 左右旋 在A1 A2确定之后 主要决定于 设分振动 82 仍是频率为 的简谐振动 2 时 合运动 1 时 振动方向旋转 特殊结果 83 合运动是椭圆振动 y 若A1 A2则为圆振动 3 时 右旋 左旋 偏振光干涉的理论基础 A2 A1 84 的值不同 椭圆形状 旋向也不同 85 2 不同频率的谐振动的合成 1 若频率相差很小 设分振动 可看作两频率相等而随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 86 2 频率比是简单的整数比 则合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图 应用 测定未知频率或确定两个振动的相位关系 曲线形状取决于频率比和相差 例如时如图 87 88 89 解 1 设这一简谐振动的表达式为 习题1一物体沿x轴作简谐振动 周期T 2s 振幅A 0 12m 当t 0时 物体的位移x 0 06m 且向x轴正方向运动 求 1 此简谐振动的表达式 2 t T 4时物体的位置 速度和加速度 3 物体从 0 06m向x轴负方向运动 第一次回到平衡位置所需的时间 90 所以 于是 2 由上面得出的简谐振动的表达式 有 91 时 从上列各式求得 92 这就是物体在这两个时刻的相位差 由于振幅矢量的旋转角速度为 所以可得到所需的时间 3 由振幅矢量图可知 从x 0 06m向x轴负方向运动 第一次回到平衡位置时 振幅矢量转过的角度为 O 93 解取坐标如图 船所受的浮力和重力平衡处为坐标原点 设水的密度为 习题2一质量为m的平底船 其平均水平截面积为S 吃水深度为h 如不计水的阻力 求此船在竖直方向的振动周期 船的位置用平衡时的吃水线P相对于水面的位移y来描述 此时船所受力的合力为 则 1 94 力F的大小与位移y成正比 方向相反 所以船在竖直方向作简谐振动 其角频率及周期分别为 将式 1 代入得 95 习题3在横截面为S的U形管中有适量液体 液体总长度为l 质量为m 密度为 求液面上下起伏的振动频率 忽略液体与管壁间的摩擦 选如图坐标 并选两侧液面等高时的平衡位置为坐标原点 且液体势能为零 液体不可压缩 整个液体的动能为 解液体受到初始扰动后 振动过程中没有机械能损失 因此用能量守恒方法来分析 y O 96 由能量守恒得 将上式对时间t求导 而所以 动能 整理后得 势能 97 求它们的合振动的振幅和初相 解采用旋转矢量法 习题4N个同方向 同频率的简谐振动 它们的振幅相等 初相分别为 依次差一个恒量 振动表达式可写为 在中 98 所以 式中为A与x轴间的夹角 即合振动的初相 最后求得合振动的表达式为 又因为 99 一般情况 特例1 2 的倍数的整数 各分振动的初相相同 合振幅为最大值 合振幅为最小 100 3 次极大 多光束干涉的理论基础 主极大 极小 101 例20 13三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV 相邻相位差为 3 求 合振幅A 解 画旋转矢量图 3 由图很容易得到A 2A0 或 102 对弹簧振子的两点说明 设两个弹簧弹性系数分别为k1和k2当它们串联时 等效弹性系数为k1k2 k1 k2 当它们并联时 等效弹性系数为k1 k2 对长为l的弹簧截取其半 S不变 K变成2K 对一长为l 截面积为S的棒 两端以力F拉之 伸长 胡克定律 F S Y l l Y仅取决于材料性质 称为杨氏模量 此式可以写成 F YS l l显然 YS l K K1 K2 l2 l1所以 对长为l的弹簧截取其半 S不变 K必然变成2K 103 答 B 104 答 C 105 注 阻尼振动 受迫振动共振为选学内容 不在考试范围 有兴趣者自行了解 106 4阻尼振动 相比无阻尼自由振动 例如弹簧 电感线圈 任何系统总还要受到阻力的作用 此时振动叫阻尼振动 阻尼振动中 振动系统要不断克服阻力做功 所以能量不断减少 振幅也不断减小 故被称为减幅振动 阻尼振动表达式 阻尼周期 x 107 5受迫振动共振 1 受迫振动 a 稳定时系统振动的频率 驱动力的频率 b 维持受迫振动的周期性外力叫做驱动力 c 物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率 而跟振