电路理论基础第二版第八章 正弦电压和电流、相量法基础

8 1正弦电压和电流8 2正弦量的相量表示8 3相量法引理8 4基尔霍夫定律的相量形式8 5电路元件伏安特性的相量形式8 6例题 第八章相量法基础 重点 1 同频率正弦量相位差的5种情况 同相 超前 滞后 方相和正交 2 复数 向量 的几种表示 4种 3 基尔霍夫定律的相量方程与时域方程的区别与联系 4 电路元件 电阻 电感和电容 伏安特性的相量形式 8 1正弦电压和电流 8 1 1正弦电压和电流8 1 2正弦量的三要素8 1 3同频率正弦量的相位差8 1 4正弦电流 正弦电压的有效值 8 1 1正弦电压和电流 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流 有时又称为交流电压和电流 它们的瞬时值可用时间t的正弦函数或余弦函数表示 在以后的讨论中 均将它们表为余弦函数 给出正弦电压 电流 瞬时值表达式时 一定要先给出其参考方向 表达式和参考方向一起可确定正弦电压 电流 任一时刻的真实方向 8 1 2正弦量的三要素 振幅Im 角频率 初相位 i 振幅Im 角频率 Im是电流i的最大值 是i的相角随时间变化的速度 称为角频率 单位 弧度 秒 或写作 1 秒 电流i的频率为f 赫兹 周 秒 周期为T 秒 有如下关系 初相位 i i是t 0时刻i的相位 称为初相位 初相角 单位 弧度 度 由于余弦函数是周期函数 故 i是多值的 一般取 i的值与计时起点的选择有关 i 0 i 8 1 3同频率正弦量的相位差 同频率正弦量的相位差等于其初相位之差 相位差 的单位 弧度 度 例 u与i的相位差 ui 可简计为 为 相位差 是多值的 一般取 同频率正弦量相位差的5种情况 u与i同相 u超前i u滞后i u与i反相 u与i正交 判断方法 超前代表进程先 即先到达最大值 先过零点等 例1 已知 求u1与u2的相位差 解 即u1超前u2 2 3 弧度 例2 已知 求u与i的相位差 解 u超前i 2 3 弧度 即 8 1 4正弦电压 电流的有效值 若周期电流i的周期为T 则其有效值I定义为 均方根值 以电流为例讨论 同样可推得正弦电压u的有效值U为 正弦电流的有效值为 有效值I的物理意义 周期电流i1通过电阻R R在一周期时间T内吸收的电能为 恒定电流I2通过电阻R R在T时间内吸收的电能为 若有 即 则有 工程上提到正弦量的大小一般是指有效值 8 2 1复数的运算 1 直角坐标形式 其中a1 a2均为实数 a1是A的实部 a2是A的虚部 向量表示 不是下面讲的相量 a 复数A的模 复数A的辐角 有 8 2正弦量的向量表示 2 三角函数形式 3 指数形式 根据欧拉公式 可得 4 极坐标形式 例1 已知 求其极坐标形式 解 解 8 2 1复数的运算 取实部 取虚部 加减法运算 复数的加减运算用直角坐标方便 设 则 设 则 乘除运算 采用极坐标或指数坐标方便 例 设 设 则 或 则 定义 可表示为 设某一正弦电流为 称为电流i的振幅相量 称为电流i的有效值相量 简称相量 有 8 2 2正弦量的相量表示 其实是复数表示 一个正弦量的相量是复常数 其模是该正弦量的有效值 其辐角是该正弦量的初相位 若给定正弦量的角频率 则正弦量和其相量之间是一一对应的关系 没有角频率w 相量的运算规则即复数的运算规则 相量也可用向量表示 称为相量图 例1 已知 解 求相量及 并画出相量图 画相量图时 和的长度采用不同的比例 解 也可直接写出正弦量表达式 由知 得 引理1 唯一性引理 引理2 线性引理 其中a1 a2为实常数 当且仅当两个同频率正弦量的相量相等时 该两正弦量相等 8 2 3相量法的几个引理 即 注意 相量只是用来表示正弦量的复数 上面两者之间不能用等号连接 证明 引理3 微分引理 则 证毕 例 求 解 得 要求 可以快速的在两者之间互换 8 3基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电压 KVL 定律 时域方程 对任一回路 在正弦稳态电路中 所有电压和电流都是同频率正弦量 对上式两边同时取相量 有 相量形式方程 对任一回路 基尔霍夫电流 KCL 定律 时域方程 对任一节点 相量形式方程 对任一节点 注意 相量求和 不是振幅 或有效值 的简单求和 例1 已知 求i3 解 例2 已知 求uac 解 8 4电路元件伏安特性的相量形式 电阻 正弦稳态电路中 设 时域方程 则 对时域方程两边同时取相量 得 相量形式方程 相量方程可分为两个实数方程 特点 u与i同频率的正弦量 相位相同 最大值或有效值之间满足欧姆定律 u与i幅值之比等于R 电感 正弦稳态电路中 设 时域方程 对时域方程两边同时取相量 得 相量形式方程 电感L的伏安 VAR 的相量形式 则 设 相量方程可分为两个实数方程 特点 u超前i 2 弧度 u与i幅值之比等于 L L反映电感对正弦电流的阻碍作用 这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大 电容 正弦稳态电路中 设 时域方程 则 对时域方程两边同时取相量 得 相量形式方程 电容C的伏安 VAR 的相量形式 相量方程可分为两个实数方程 特点 u滞后i 2 弧度 u与i幅值之比等于 1 C 它反映电容对正弦电流的阻碍作用 这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小 受控源 时域方程 正弦稳态电路中 各电流 电压均为同频率的正弦量 对时域方程两边同时取相量 得 相量形式方程 VCVS VCCS CCCS CCVS VCVS 受控源特性方程的相量形式 例1 试判断下列表达式的正 误 L 8 5例题 例2 已知电流表读数 解 例3 解 j20W j10W 15W 例4 解 5W j5W 例5 解 例6 图示电路I1 I2 5A U 50V 总电压与总电流同相位 求I R XC XL UC 解 也可以画相量图计算 令等式两边实部等于实部 虚部等于虚部 例7 图示电路为阻