2012年考研数学三真题与答案解析

20122012 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 选择题一 选择题 1 8 1 8 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 3232 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符只有一个选项符 合题目要求的合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 曲线渐近线的条数为 2 2 1 xx y x A 0 B 1 C 2 D 3 2 设函数 其中为正整数 则 2 1 2 xxnx f xeeen n 0 f A B C D 1 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 nn 3 设函数连续 则二次积分 f t 2 2 2 02cos d df r r r A B 2 2 24 2222 02 d d x x x xxy f xyy 2 2 24 22 02 d d x x x xf xyy C D 2 2 24 2222 011 d d y y yxy f xyx 2 2 24 22 011 d d y y yf xyx 4 已知级数绝对收敛 级数条件收敛 则 1 1 1 sin n n n n 2 1 1 n a n n A B C D 1 0 2 a 1 1 2 a 3 1 2 a 3 2 2 a 5 设 其中为任意常数 则 1 1 0 0 C 2 2 0 1 C 3 3 1 1 C 4 4 1 1 C 1234 C C C C 下列向量组线性相关的为 A B C D 123 124 134 234 6 设 A 为 3 阶矩阵 P 为 3 阶可逆矩阵 且 若 P 1 100 010 002 p AP 123 则 1223 1 Q AQ A B C D 100 020 001 100 010 002 200 010 002 200 020 001 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且都服从区间 0 1 上的均匀分布 则 22 1P XY A B C D 1 4 1 28 4 8 设为来自总体 0 的简单随机样本 则统计量 1234 XXXX 2 1 N 的分布为 12 34 2 XX XX A N 0 1 B t 1 C D F 1 1 2 1 二 填空题 二 填空题 9 149 14 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 2424 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 9 1 cossin 4 lim tanxx x x 10 设函数 则 ln 1 21 1 xx f x xx yff x x e dy dx 11 设连续函数满足则 zf x y 220 1 22 lim0 1 x y f x yxy xy 0 1 d z 12 由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 4 y x yx 4yx 13 设为 3 阶矩阵 为的伴随矩阵 若交换的第 1 行与第 2 行得矩阵 则A3A AAAB BA 14 设 A B C 是随机事件 A 与 C 互不相容 则 1 2 P AB 1 3 P C P AB C 三 解答题 三 解答题 15 2315 23 小题小题 共共 9494 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 求极限 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 16 计算二重积分 其中是以曲线及轴为边界的无界区域 d d x e xy x y D 1 yx y x y 17 某企业为生产甲 乙两种型号的产品 投入的固定成本为 10000 万元 设该企业生 产甲 乙两种产品的产量分别为 件 和 件 且定两种产品的边际成本分别为xy 万元 件 与 万元 件 20 2 x 6y 1 求生产甲乙两种产品的总成本函数 万元 C x y 2 当总产量为 50 件时 甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小 求最小成本 3 求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释其经济意义 18 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 19 已知函数满足方程及 f x 2 0fxfxf x 2 x fxf xe 1 求的表达式 f x 2 求曲线的拐点 22 0 d x yf xftt 20 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 1 计算行列式 A 2 当实数为何值时 方程组有无穷多解 并求其通解 aAx 21 已知 二次型的秩为 2 101 011 10 01 A a a 123 TT fx xxxA A x 1 求实数的值 a 2 求正交变换 将化为标准形 xQy f 22 设二维离散型随机变量 的概率分布为XY Y X012 0 1 4 0 1 4 10 1 3 0 2 1 12 0 1 12 求 2P XY 求 Cov XY Y 23 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且服从参数为 1 的指数分布 记 max UX Y min VX Y 求的概率密度 V V fv 求 E UV 数三参考答案数三参考答案 一 选择题 12345678 CCBDCBDB 二 填空题 9 10 4 11 12 13 14 2 e 2dxdy 4ln227 3 4 1 解析 2 解析 3 解析 4 解析 5 解析 6 解析 7 解析 8 解析 9 解析 10 解析 11 解析 12 解析 13 解析 14 解析 三 解答题 15 解 16 解 17 解 I 对 x 积分得 20 2 x x Cx y 2 20 4 x C x yxD y 再对 y 求导有 6 y Cx yDyy 再对 y 积分有 2 6 2 y D yyc 所以 又 所以 22 206 42 xy C x yxyc 0 0 10000C 10000c 所以 22 20610000 42 xy C x yxy II x y 50 把 y 50 x 代入 22 20610000 42 xy C x yxy 2 3 3611550 4 x C xx 令 得 x 24 y 50 24 26 2 3 36115500 4 x C xx 这时总成本最小 C 24 26 11118 万元 III 万元 件 24 26 32 x Cx y 经济意义 总产量为 50 件 当甲产品的产量为 24 时 每增加一件甲产品 则甲产品的成 本增加 32 万元 18 证明 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x 2 12 lnsin 11 xx fxxx xx 00 f 22 2 2 2 14 11 cos1 11 1 xx fxx xx x 22 22 44 cos120 11 x xx 所以 00f xf 即证得 2 1 lncos111 12 xx xxx x 19 解 I 对应的特征方程为 r 2 r 1 2 0fxfxf x 2 20rr 所以 2 12 xx f xC eC e 把代入 得到 2 12 xx f xC eC e 2 x fxf xe x f xe II 同理 当 x 0 时 0y 可知 0 0 点是曲线唯一的拐点 20 解 I 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a Aaaaa a a a II 对方程组的增广矩阵初等行变换 Ax 232 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 aaa aaa aaa aaaaaa 42 1001 0101 0010 0001 a a a aaa 可知 要使方程组有无穷多解 则有且 可知Ax 4 10a 2 0aa 1a 此时 方程组的增广矩阵变为 进一步化为最简形得Ax 11001 01101 00110 00000 可知导出组的基础解系为 非齐次方程的特解为 故其通 10010 01011 00110 00000 1 1 1 1 0 1 0 0 解为 10 11 10 10 k 21 解 1 由二次型的秩为 2 知 故 2 T r A A 2 T r Ar A A 对矩阵 A 初等变换得 101101101101 011011011011 10001001001 0101001000 aaaa aaa 因 所以 2r A 1a 2 令 202 022 224 T BA A 202202102 022 2 22 2 122 2 6 0 224024024 EB 所以 B 的特征值为 123 0 2 6 对于 解得对应的特征向量为 1 0 1 0EB X 1 1 1 1 T 对于 解得对应的特征向量为 2 2 2 0EB X 2 1 1 0 T 对于 解得对应的特征向量为 3 6 3 0EB X 3 1 1 2 T 将单位化可得 123 121 111 111 1 1 1 326 102 正交矩阵 则 111 326 111 326 12 0 36 Q 0 2 6 T Q AQ 因此 作正交变换 二次型的标准形为xQy 22 23 26 TTT f xxA A xy Ayyy 22 解 X012 P1 21 31 6 Y012 P1 31 31