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文档简介

一元复合函数 求导法则 微分法则 第四节多元复合函数的求导法则 多元复合函数的求导的链式法则 多元复合函数的全微分 一 多元复合函数求导的链式法则 1 中间变量均为一元函数的情形 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如 以上公式中的导数称为全导数 若定理中在点 说明 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在 则定理结论不一定成立 偏导数不连续 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况 2 中间变量均为多元函数的情形 链式法则如图示 类似地 设u x y v x y w x y 都在点 x y 具有对x和y的偏导数 函数z f u v w 在对应点 u v w 具有连续偏导数 则复合函数z f x y x y x y 在点 x y 的两个偏导数存在 且可用下列公式计算 3 中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理3若u x y 在点 x y 可导 v y 在点y可导 函数z f u v 在对应点 u v 具有连续偏导 则复合函数z f x y y 在点 x y 可导 且 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 解 例2 解 例3 设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 为简便起见 引入记号 例4 设 f具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 二阶偏导数连续 求下列表达式在 解 已知 极坐标系下的形式 1 则 例5 设 已知 注意利用已有公式 同理可得 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 二 多元复合函数的全微分 例1 利用全微分形式不变性再解例1 解 所以 例6 思考题 1 已知 求 解 由 两边对x求导 得 求 解 由题设 2001考研 2 内容小结 1 复合函数求导的链式法则 分段用乘
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