2019版高考数学第一章集合与常用逻辑用语 第3讲

集合与常用逻辑用语 第一章 第3讲简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 栏目导航 1 命题p q p q p的真值表 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 2 全称量词和存在量词 3 全称命题和特称命题 x M p x x0 M p x0 x0 M x M 4 含逻辑联结词命题的真假判断 1 p q中一假则假 全真才真 2 p q中一真则真 全假才假 3 p与 p真假性相反 5 必会结论 1 p q 的否定是 p q p q 的否定是 p q 2 且 或 非 三个逻辑联结词对应着集合中的 交 并 补 所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理 1 思维辨析 在括号内打 或 1 命题 5 6或5 2 是假命题 2 p q为真的充分必要条件是p为真或q为真 3 长方形的对角线相等 是特称命题 4 命题 菱形的对角线相等 的否定是 菱形的对角线不相等 解析 1 错误 命题p q中有一真 则p q为真 2 错误 p q为真 则p q同时为真 3 错误 命题 长方形的对角线相等 可叙述为 任意长方形的对角线相等 是全称命题 4 错误 菱形的对角线相等 是全称命题 其否定为 有的菱形的对角线不相等 2 下列命题中的假命题是 A x R lgx 0B x R tanx 1C x R x3 0D x R 2x 0 C 解析 命题p为真命题 q为假命题 p或q q为真命题 故选B B 4 已知命题p n N 2n 1000 则 p为 A n N 2n 1000B n N 2n 1000C n N 2n 1000D n N 2n 1000解析由于特称命题的否定是全称命题 因而 p n N 2n 1000 故选A A 5 在一次跳伞训练中 甲 乙两位学员各跳一次 设命题p是 甲降落在指定范围 q是 乙降落在指定范围 则命题 至少有一位学员没有降落在指定范围 可表示为 A p q B p q C p q D p q解析因为p是 甲降落在指定范围 q是 乙降落在指定范围 则 p是 甲没有降落在指定范围 q是 乙没有降落在指定范围 所以命题 至少有一位学员没有降落在指定范围 可表示为 p q 故选A A 1 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 先判断简单命题p q的真假 再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假 一含逻辑联结词命题的真假判断 2 含逻辑联结词命题真假的等价关系 p q真 p q至少有一个真 p q 假 p q假 p q均假 p q 真 p q真 p q均真 p q 假 p q假 p q至少有一个假 p q 真 p真 p假 p假 p真 例1 1 已知命题p 若x y 则 xy 则x2 y2 在命题 p q p q p q p q中 真命题是 A B C D 2 p或q 为真命题是 p且q 为真命题的 条件 解析 1 当x y时 xy时 x2 y2不一定成立 故命题q为假命题 从而 q为真命题 由真值表知 p q为假命题 p q为真命题 p q 为真命题 p q为假命题 2 p或q为真命题 p且q为真命题 p且q为真命题 p或q为真命题 C 必要不充分 二全称命题与特称命题 1 全称命题与特称命题真假的判断方法 2 全称命题与特称命题的否定 否定量词 确定命题所含量词的类型 省去量词的要结合命题的含义加上量词 再对量词进行否定 否定结论 对原命题的结论进行否定 例2 1 2017 山东卷 已知命题p x 0 ln x 1 0 命题q 若a b 则a2 b2 下列命题为真命题的是 A p qB p qC p qD p q 2 命题 全等三角形的面积一定都相等 的否定是 A 全等三角形的面积不一定都相等B 不全等三角形的面积不一定都相等C 存在两个不全等三角形的面积相等D 存在两个全等三角形的面积不相等 B D 解析 1 当x 0时 x 1 1 因此ln x 1 0 即p为真命题 取a 1 b 2 这时满足a b 显然a2 b2不成立 因此q为假命题 易知B项为真命题 2 命题是省略量词的全称命题 故选D B C 三根据命题的真假求参数的取值范围 根据命题的真假求参数取值范围的求解策略 1 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 一个或两个 简单命题的真假 求出此时命题成立的参数的取值范围 再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围 2 全称命题可转化为恒成立问题 例4 已知命题p 函数y x2 2x a在区间 1 2 上有1个零点 命题q 函数y x2 2a 3 x 1的图象与x轴交于不同的两点 如果p q是假命题 p q是真命题 求a的取值范围 D C 1 4 2018 河北邯郸一模 已知三个命题p q m中只有一个是真命题 课堂上老师给出了三个判断 A p是真命题 B p q是假命题 C m是真命题 老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的 那么三个命题q p m中的真命题是 解析 若A是错误的 则p是假命题 q是假命题 m是真命题 满足条件 若B是错误的 则p是真命题 m是真命题 不满足条件 若C是错误的 则p是真命题 p q不可能是假命题 不满足条件 故真命题是m m 错因分析 否命题既要否定条件 又要否定结论 而命题的否定只否定结论 例1 写出命题 若a2 b2 0 则实数a b全为零 的否定及否命题 解析命题的否定 若a2 b2 0 则实数a b不全为零 命题的否命题 若a2 b2 0 则实数a b不全为零 易错点1混淆否命题与命题的否定 解析因为p是 p的否定 所以只需将全称命题变为特称命题 再对结论否定即可 错因分析 判断全称命题为真时需给出严格的证明 为假时只需举出一个反例 判断特称命题为真时 只需找出满足的一个对象 为假时可用反证法 例2 下列命题中 真命题是 A m R 使函数f x x2 mx x R 是偶函数B m R 使函数f x x2 mx x R 是奇函数C m R 使函数f x x2 mx x R 是偶函数D m R 使函数f x x2 mx x R 是奇函数 易错点2不会判断全称命题 特称命题的真假 解析当m 0时 f x x2是偶函数 故A项正确D项错误 当m 1时 f x x