全等三角形综合题目.pdf

第1页 共17页 全等全等三角形三角形综合综合 1 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE BD 交 BD 的延长线于点 E 则线段 BD 和 CE 具有什么数量关系 并证明你的结论 2 如图 在 ABC 中 ABC 2 C AD 平分 BAC 求证 AB BD AC 3 在四边形 ABCD 中 AD BC 点 E 为 CD 的中点 求证 S AEB 1 2SABCD 第2页 共17页 4 1 如图 1 以 ABC 的边 AB AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG 连接 EG 试判断 ABC 与 AEG 面积之间的关系 并说明理由 2 园林小路 曲径通幽 如图 2 所示 小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺 成 已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米 内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方 米 这条小路一共占地多少平方米 5 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 AD 平分 CAB 1 求 CAD 的度数 2 延长 AC 至 E 使 CE AC 求证 DA DE 第3页 共17页 6 如图 已知 PCQ 按如下步骤作图 以 P 为圆心 PC 长为半径画弧 以 Q 为圆 心 QC 长为半径画弧 两弧相交于点 D 连接 PD QD 求证 PCQ PDQ 7 CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线 CA CB E F 分别是直线 CD 上两点 且 BEC CFA 1 若直线 CD 经过 BCA 的内部 且 E F 在射线 CD 上 请解决下面两个问题 如图 1 若 BCA 90 90 则 BE CF EF BE AF 填 或 如图 2 若 0 BCA 180 请添加一个关于 与 BCA 关系的条件 使 中的两个结论仍然成立 并证明两个结论成立 2 如图 3 若直线 CD 经过 BCA 的外部 BCA 请提出 EF BE AF 三条线段 数量关系的合理猜想 不要求证明 第4页 共17页 8 如图 ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 P 从 A 点出发沿 A C B 路径向终点 运动 终点为 B 点 点 Q 从 B 点出发沿 B C A 路径向终点运动 终点为 A 点 点 P 和 Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动 两点都要到相应的终点时才能停止运动 在某时刻 分别过 P 和 Q 作 PE l 于 E QF l 于 F 问 点 P 运动多少时间时 PEC 与 QFC 全等 请说明理由 9 如图 ABC 90 AB BC D 为 AC 上一点 分别过 A C 作 BD 的垂线 垂足分别为 E F 求证 EF CF AE 第5页 共17页 10 用两个全等的等边三角形 ABC 和 ACD 拼成菱形 ABCD 把一个含 60 角的三角尺与 这个菱形叠合 使三角尺的 60 角的顶点与点 A 重合 两边分别与 AB AC 重合 将三角尺 绕点 A 按逆时针方向旋转 1 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC CD 相交于点 E F 时 如图 1 通过观察 或测量 BE CF 的长度 你能得出什么结论并证明你的结论 2 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC CD 的延长线相交于点 E F 时 如图 2 你 在 1 中得到的结论还成立吗 简要说明理由 第6页 共17页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 10 小题 小题 1 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE BD 交 BD 的延长线于点 E 则线段 BD 和 CE 具有什么数量关系 并证明你的结论 分析 延长 CE 与 BA 延长线交于点 F 首先证明 BAD CAF 根据全等三角形的性质 可得 BD CF 再证明 BEF BCE 可得 CE EF 进而可得 BD 2CE 解答 答 BD 2CE 延长 CE 与 BA 延长线交于点 F BAC 90 CE BD BAC DEC ADB CDE ABD DCE 在 BAD 和 CAF 中 BAD CAF ASA BD CF BD 平分 ABC CE DB FBE CBE 在 BEF 和 BCE 中 BEF BCE ASA CE EF DB 2CE 第7页 共17页 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质 关键是掌握全等三角形的判定方法 全 等三角形对应边相等 2 如图 在 ABC 中 ABC 2 C AD 平分 BAC 求证 AB BD AC 分析 在 AC 上截取 AE AB 利用 边角边 证明 ABD 和 AED 全等 根据全等三角形对 应边相等可得 DE BD 全等三角形对应角相等可得 AED ABC 然后求出 C CDE 根据等角对等边可得 CE DE 然后结合图形整理即可得证 解答 证明 如图 在 AC 上截取 AE AB AD 平分 BAC CAD BAD 在 ABD 和 AED 中 ABD AED SAS DE BD AED ABC AED C CDE ABC 2 C CDE C CE DE AE CE AC AB BD AC 第8页 共17页 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和的性质 等角对等边的性质 作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键 3 在四边形 ABCD 中 AD BC 点 E 为 CD 的中点 求证 S AEB 1 2SABCD 分析 延长 AE 交 BC 十位延长线于点 F 证得 ADE CEF 得出 AE EF AD CF 进一步利用 ABF 的面积 四边形 ABCD 的面积 ABE 的面积是 ABF 的面积的一半进一 步求得结论即可 解答 解 如图 AD BF D ECF DAE F 点 E 为 CD 的中点 DE CE 在 ADE CEF 中 ADE CEF AE EF AD CF 设四边形 ABCD 的高为 h S ABF 1 2 BC CF h 1 2 BC AD h S 四边形ABCD 第9页 共17页 S AEB 1 2S ABF 1 2S 四边形ABCD 点评 此题考查三角形全等的判定与性质 三角形的面积 作出辅助线 灵活运用三角形 全等的判定方法解决问题 4 1 如图 1 以 ABC 的边 AB AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG 连接 EG 试判断 ABC 与 AEG 面积之间的关系 并说明理由 2 园林小路 曲径通幽 如图 2 所示 小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺 成 已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米 内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方 米 这条小路一共占地多少平方米 分析 1 过点 C 作 CM AB 于 M 过点 G 作 GN EA 交 EA 延长线于 N 得出 ABC 与 AEG 的两条高 由正方形的特殊性证明 ACM AGN 是判断 ABC 与 AEG 面积之 间的关系的关键 2 同 1 道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和 求出 这条小路一共占地多少平方米 解答 解 1 ABC 与 AEG 面积相等 理由 过点C作CM AB于M 过点G作GN EA交EA延长线于N 则 AMC ANG 90 四边形 ABDE 和四边形 ACFG 都是正方形 BAE CAG 90 AB AE AC AG BAE CAG BAC EAG 360 BAC EAG 180 EAG GAN 180 BAC GAN 在 ACM 和 AGN 中 第10页 共17页 ACM AGN CM GN S ABC 1 2AB CM S AEG 1 2AE GN S ABC S AEG 2 由 1 知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和 这条小路的面积为 a 2b 平方米 点评 本题要利用正方形的特殊性 巧妙地借助两个三角形全等 寻找三角形面积之间的 等量关系 解决问题 由正方形的特殊性证明 ACM AGN 是判断 ABC 与 AEG 面积 之间的关系的关键 5 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 AD 平分 CAB 1 求 CAD 的度数 2 延长 AC 至 E 使 CE AC 求证 DA DE 分析 1 利用 直角三角形的两个锐角互余 的性质和角平分的性质进行解答 2 通过证 ACD ECD 来推知 DA DE 解答 1 解 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 B 30 第11页 共17页 B 30 CAB 60 又 AD 平分 CAB CAD 1 2 CAB 30 即 CAD 30 2 证明 ACD ECD 180 且 ACD 90 ECD 90 ACD ECD 在 ACD 与 ECD 中 ACD ECD SAS DA DE 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 在应用全等三角形的判定时 要注意三角形 间的公共边和公共角 必要时添加适当辅助线构造三角形 6 如图 已知 PCQ 按如下步骤作图 以 P 为圆心 PC 长为半径画弧 以 Q 为圆 心 QC 长为半径画弧 两弧相交于点 D 连接 PD QD 求证 PCQ PDQ 分析 根据作图过程可得 PC PD CQ QD 再加上公共边 PQ PQ 可利用 SSS 判定 PCQ PDQ 解答 证明 在 PCQ 和 PDQ 中 PCQ PDQ SSS 点评 本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS SAS 第12页 共17页 ASA AAS HL 7 CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线 CA CB E F 分别是直线 CD 上两点 且 BEC CFA 1 若直线 CD 经过 BCA 的内部 且 E F 在射线 CD 上 请解决下面两个问题 如图 1 若 BCA 90 90 则 BE CF EF BE AF 填 或 如图 2 若 0 BCA 180 请添加一个关于 与 BCA 关系的条件 BCA 180 使 中的两个结论仍然成立 并证明两个结论成立 2 如图 3 若直线 CD 经过 BCA 的外部 BCA 请提出 EF BE AF 三条线段 数量关系的合理猜想 不要求证明 分析 由题意推出 CBE ACF 再由 AAS 定理证 BCE CAF 继而得答案 解答 解 1 BCA 90 90 BCE CBE 90 BCE ACF 90 CBE ACF CA CB BEC CFA BCE CAF BE CF EF CF CE BE AF 所填的条件是 BCA 180 证明 在 BCE 中 CBE BCE 180 BEC 180 BCA 180 CBE BCE BCA 又 ACF BCE BCA CBE ACF 第13页 共17页 又 BC CA BEC CFA BCE CAF AAS BE CF CE AF 又 EF CF CE EF BE AF 2 猜想 EF BE AF 证明过程 BEC CFA BCA BCA BCE ACF 180 CFA CAF ACF 180 BCE CAF 又 BC CA BCE CAF AAS BE CF EC FA EF EC CF BE AF 点评 本题综合考查全等三角形 等边三角形和四边形的有关知识 注意对三角形全等 相似的综合应用 8 如图 ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 P 从 A 点出发沿 A C B 路径向终点 运动 终点为 B 点 点 Q 从 B 点出发沿 B C A 路径向终点运动 终点为 A 点 点 P 和 Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动 两点都要到相应的终点时才能停止运动 在某时刻 分别过 P 和 Q 作 PE l 于 E QF l 于 F 问 点 P 运动多少时间时 PEC 与 QFC 全等 请说明理由 分析 推出 CP CQ P 在 AC 上 Q 在 BC 上 推出方程 6 t 8 3t P Q 都在 AC 上 此时 P Q 重合 得到方程 6 t 3t 8 Q 在 AC 上 P 在 BC 上 Q 在 AC 时 此时 不存在 当 Q 到 A 点 与 A 重合 P 在 BC 上时 求出即可得出答案 第14页 共17页 解答 解 设运动时间为 t 秒时 PEC QFC PEC QFC 斜边 CP CQ 有四种情况 P 在 AC 上 Q 在 BC 上 CP 6 t CQ 8 3t 6 t 8 3t t 1 P Q 都在 AC 上 此时 P Q 重合 CP 6 t 3t 8 t 3 5 P 在 BC 上 Q 在 AC 时 此时不存在 理由是 8 3 1 6 Q 到 AC 上时 P 应也在 AC 上 当 Q 到 A 点 和 A 重合 P 在 BC 上时 CQ CP CQ AC 6 CP t 6 第15页 共17页 t 6 6 t 12 t 14 t 12 符合题意 答 点 P 运动 1 或 3 5 或 12 秒时 PEC 与 QFC 全等 点评 本题主要考查对全等三角形的性质 解一元一次方程等知识点的理解和掌握 能根 据题意得出方程是解此题的关键 9 如图 ABC 90 AB BC D 为 AC 上一点 分别过 A C 作 BD 的垂线 垂足分别为 E F 求证 EF CF AE 分析 根据已知和三角形内角和定理求出 E BFC 90 EAB FBC 根据 AAS 推 出 AEB BFC 根据全等三角形的性质得出 AE BF BE CF 即可 解答 证明 过 A C 作 BD 的垂线 垂足分别为 E F E BFC 90 ABC 90 EAB ABE 90 FBC ABE 90 EAB FBC 在 AEB 和 BFC 中 AEB BFC AAS AE BF BE CF EF BE BF CF AE 点评 本题考查了全等三角形的判定和性质 三角形内角和定理的应用 主要考查学生运 第16页 共17页 用定理进行推