高等数学竞赛辅导综合题.pdf

高等数学综合练习题 1 设 满足 证明 收敛 并求 分析 用数列通项表示的这种类型题目 往往要用单调有界必有极限这 个定理来解决 因此先要用不等式技术证明单调且有界 证明 1 证明 易见 则 从而有 故单调减少 且有下界 所以收敛 2 设 在两边同时取极限得 解之得 即 2 设在的邻域具有二阶导数 且 试求 及 分析 这种类型的题目 先要取对数将指数去掉化成分式 再根据分式 极限为常数而分母极限为零 得到分子极限为零 另外求一点的导数往 往要用定义 解 由得 因为分母极限为零 从而分子极限为零 即 可以得到 同样 我们有 由导数的定义得 因为在的邻域具有二阶导数 由泰勒公式得 两边取极限得 故 3 设 且在满足 有 为常数 证明 在有界 证明 由条件知 有 则 从而 故在有界 4 设函数且f 0 存在 试确定常数a b c 分析 这是一个分段函数 分段函数在分段点的导数要用定义求 解 由条件可知函数在处连续 故 由条件可知在处连续 且 故 因此 从而 故 则 5 设当时 可微函数满足条件 且 试证 当时 有成立 分析 这是一个积分微分方程 可以通过两边求导变成一个微分方程 然后求解 证明 设由题设知 则所给方程可变形为 两端对x求导并整理得 这是一个可降阶的二阶微分方程 可用分离变量法求得 由得 可见单减 而 所以当时 对在上进行积分得 6 计算三重积分 其中是椭球体 分析 计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容 这种题 目都是将重积分化成累次积分 而累次积分的关键是要确定出每个积分 的限 确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域 因此正确画出图 形或者是想象出图形是解决问题的关键 解 由于 其中 这里表示椭球面 或 它的面积为 于是 同理可得 所以 7 讨论积分的敛散性 分析 积分敛散性的讨论是数学中的一个难点 要用不等式技术和一些 重要结论 其中Cauchy收敛准则起作很大的作用 解 首先注意到 若 则当充分大时 从而当充分大时 函数是递减的 且这时 又因 对任何 故收敛 若 则恒有 故函数在上是递增的 于是 正整数 有 常数 故不满足Cauchy收敛准则 因此发散 上二阶可导 求证 使 分析 罗尔定理 拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内 容 往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点 平时练习时 采用 多种方法去解决 能有效地提高解题能力 这种题目难点是构造出一个 合适的函数 证1 令 则 由洛尔定理知 由洛尔定理知 证2 令 由拉格朗日定理知 由洛尔定理知 证3 在展开为一阶泰勒公式 因 故 证4 令 用两次洛尔定理 证5 令 用一次洛尔定理 9 设f在上可微 且a与b同号 证明 存在 使 1 2 证 1 令 显然在上满足Cauchy中值定理的条件 所以 即 2 令 显然在上满足Cauchy中值定理的条件 所以 即 10 设二阶可微 证明 存在 使 证明 令 则 显然在上满足Rolle定理的条件 从而 使 又 于是在上满足Rolle定理的条件 故 使 即存在 使 11 设是定义在上的函数 且 证明 在上可导 且 分析 由于已知条件 是一个很广的条件 要充分利用它 另外要用导 数的定义 证明 由已知条件得 因为 所以在上可导 且 12 设 且 证明 分析 从结论可以看出 绝对值里面刚好是 因此容易想到先求的导 数 再用导数的定义 证明 因为 所以 又 所以 即 13 设f在上二阶可微 则方程在内至少有一个根 分析 方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断 因此 验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键 证明 因为 不妨设 因 故 使 从而 使 因 故 使 从而 使得 又因在上可微 所以在上连续 由零点存在定理知 使 于是在及上分别利用Rolle定理得 存在 使得 再在上用Rolle定理得 使 即方程在内至少有一个根 14 浙江师范大学2004 设在上具有二阶导数 且满足条件 其中 都是非负常数 是内的任一点 证明 分析 如果函数高阶可导 并给定了函数的导数或函数的值 要求估计 一个函数的界 往往要用Taylor展开式 证明 因在上具有二阶导数 故存在使得 同理存在使得 将上面的两个等式两边分别作差 得 即 因此 而 故 15 设 证明 使 证明 将在点处展开泰勒公式 得 在与之间 令得 令得 因为 所以 令 则 代入 得 16 2003高数一 将函数展开成的幂级数 并求级数的和 分析 给定的函数是一个反正切函数不能直接展开 由于它的导数是一 个分式函数 可以展开 因此可以考虑先求导数 解 因为 又f 0 所以 因为级数收敛 函数f x 在处连续 所以 令 得 再由 得 17 2003高数一 设函数f x 连续且恒大于零 其中 1 讨论F t 在区间内的单调性 2 证明当t 0时 分析 要判定一个函数的单调性 往往要求它的导数 这是一个变限的 积分 可以利用变限积分的求导法则 由于是一个重积分 因此先要计 算重积分 解 1 因为 所以在上 故F t 在内单调增加 2 因 要证明t 0时 只需证明t 0时 即 令 则 故g t 在内单调增加 因为g t 在t 0处连续 所以当t 0时 有g t g 0 又g 0 0 故当t 0时 g t 0 因此 当t 0时 18 2004年上海交通大学 设收敛 且在上一致连续 证明 0 分析 这是一个综合性的题目 首先要搞清楚一致连续的概念 可以构 造一个级数 通过构造的级数的收敛性得到通项趋近于零 然后转化为 函数趋近于零 证 因在上一致连续 故 使得当且时 有 令 则由积分第一中值定理得 使得 因收敛 故级数收敛 从而 即 也即 故对上述的 存在 使得 当时 取 则当时 因 故存在惟一的 使得 易见 且 从而 19 2004年上海交通大学 计算下述积分 其中D是矩形区域 分析 被积函数带有绝对值的定积分的计算关键在于去掉绝对值 要去 掉绝对值就要将积分区域分块 解 记 20 求曲线积分 其中与为正常数 L为从点沿曲线到点的弧 分析 沿曲线积分的关键在于将所有变量都转化成某一变量 因此将曲 线写成参数方程就可以了 也可利用格林公式来解 解 因 故 而L的参数方程为 所以 因此 21 设函数f具有一阶连续导数 存在 且 1 确定 使处处连续 2 对以上所确定的 证明具有一阶连续导数 分析 分段函数的连续和导数 在分段点的导数一般用定义来求 解 1 因为若处处连续 则在处连续 于是 且 2 因 于是 显然 当时 连续 当时 因为 所以在处连续 故具有一阶连续导数 22 设幂级数 当时 且 1 求幂级数的和函数 2 求和函数的极值 分析 注意到与的关系 容易想到要对级数求两次导 解 1 令 求得 2 由 23 求幂级数的和函数 并指出它们的定义域 分析 求收敛域是比较简单的 因为级数求导后变成了可以直接写出结 果的级数 因此可以先求导 再积分 解 因为幂级数 且时与都是发散级数 所以此幂级数的收敛域为 设其和为 于是当时 逐项求导得 所以 24 设 证明 并求其值 证明 设 它们都是上的连续函数 且有 显然为收敛级数 故由优级数判别法知为上一致收敛 从而该级数的和函数在上连续 于是有 且 25 2003高数一 某建筑工程打地基时 需用汽锤将桩打进土层 汽锤每次击打 都 将克服土层对桩的阻力而作功 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地 下的深度成正比 比例系数为k k 0 汽锤第一次击打将桩打进地下a m 根据设计方案 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所 作的功之比为常数r 0 r 1 问 1 汽锤击打桩3次后 可将桩打进地下多深 2 若击打次数不限 汽锤至多能将桩打进地下多深 注 m表示长度单位米 解 1 设第n次击打后 桩被打进地下 第n次击打时 汽锤所作的功 为 由题设 当桩被打进地下的深度为x时 土层对桩的阻力的大小 为 所以 由可得 即 由可得 从而 即汽锤击打3次后 可将桩打进地下 2 由归纳法 设 则 由于 故得 从而 于是 即若击打次数不限 汽锤至多能将桩打进地下 m 26 设在 0 1 上具有二阶导数 且 求证 分析 考虑到题目涉及 与的关系 首先联想到利用泰勒公式 证一 将在处展开为一阶泰勒公式 在与之间 这一步也可由凹函数的性质直接得到 由定积分的性质得 分析 考虑到题目涉及定积分 还可对的原函数利用泰勒公式 证二 令 则 将在处展开为二阶泰勒公式 在与之间 利用公式 容易得证 分析 所证不等式的几何意义是高为 宽为1的矩形面积不小于以为曲 边 的曲边梯形的面积 矩形可以认为是由曲边梯形增加一部分与减 少一部分得到 而增加的一部分面积大于减少的一部分面积 为了证明 这一点 可从的左右对称点出发来研究 证三 有 在 0 1 上 即 令 故 分析 证明数字不等式往往是先设法转化为函数不等式 再利用函数 的单调性加以证明 转化的方法是将结论中的积分上限 或积分下限 换成 式中相同的字母也换成 移项使不等式一端为零 则另一端的表 达式即为需作的辅助函数 前面乘以是由不等式的几何意义想到的 证四 设辅助函数 对在 上用Lagrange定理 对用Lagrange定理 在 0 1 单调减少 即 分析 利用分部积分法可将被积函数求导 两次使用分部积分法就可 得到二阶导数 从而可以利用已知条件加以证明 证五 同理可证 两式相加得证 27 设 且 求证 级数 条件收敛 分析 先要判断不是绝对收敛的 再判断是收敛的 另一方面 由已知 条件可以看出需要对所判断的级数进行变形 解 级数不绝对收敛 故级数收敛且为条件收敛 28 设函数可微 且满足 求 分析 利用重要极限公式求出已知极限的左边 再与右边进行比较得到 一个微分方程 求此微分方程 解 对y积分得 代入 29 如图所示 设河宽为 一条船从岸边一点出发驶向对岸 船头总是 指向对岸与点相对的一点 假设在静水中船速为常数 河流中水的流 速为常数 试求船过河所走的路线 曲线方程 并讨论在什么条件下 1 船能到达对岸 2 船能到达点 分析 利用物理学知识容易建立运动轨迹的数学模型 该模型是微分方 程 求解微分方程 对字母进行讨论 解 如图所示 设为船在要时刻的位置 此时两个分速度为 消去t得 又 代入得 则有 讨论 当 30 已知 求证 1 数列收敛