1988年考研数学试题答案及评分参考

1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一(本题满分 15 分，每小题 5 分)( x - 3)n(1) 求幂级数 的收敛域.nn=1n 3( x - 3)n+1解：因 lim( n +1) 3n+1= limnx - 3=1x - 3, 故1x -31即0 x 6 时，( x - 3)nn n3( n +1)33n 3n幂级数收敛.3 分1当 x = 0 时，原级数成为交错级数 ( -1)n，是收敛的.4 分n=1n1当 x = 6 时，原级数成为调和级数 ，是发散的.5 分n=1n所以，所求的收敛域为0, 6).(2) 已知 f(x)= e x 2 ,f j( x)=1-x,且 j (x) 0.求 j (x)并写出它的定义域.解：由 ej( x)2 =1- x ，得 j( x) =3 分ln(1 - x) .由 ln(1 - x) 0 ，得1 - x 1 即 x 0 .5 分所以j( x) = ln(1 - x) ，其定义域为 ( -, 0).(3)设 S 为曲面 x2 + y2 + z2 =1 的外侧，计算曲面积分 I = x3dydz + y3dxdx+ z3dxdy.s解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有I = 3( x 2+ y 2 + z 2 )dv （其中 W 是由 S 所围成的区域）2 分W2 pp1= 30dq0d j0 r 2 r 2 sin jdr4 分12p.5 分= 51988 年 第 1 页二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分)(1)若f(t)= lim t (1+1)2tx ，则2txf (t) = (2t +1)ex2,-1x0(2)设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 (-1,1上的定 f(x)= x3 ,0 0 ，且 f (x0 ) = 0 ，则函数f ( x) 在点 x0(A)(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3)设有空间区域 W : x2+ y2 + z2 R2, z 0; 及 W : x2+ y2 + z2 R2 , x 0, y 0, z 0, 则 (C)12(A)W xdv = 4Wxdv(B)Wydv = 4Wydv1212(C)W zdv = 4Wzdv(D)Wxyzdv = 4Wxyzdv1212(4)若 an (x -1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处(B)n=1(A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C) 发散(D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组 a1 , a2 , , as (3 s n) 线性无关的充分必要条件是(D)(A) 有一组不全为 0 的数 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 a1 + k2a2 + + ksas 0 .(B) a1 , a2 , ,as 中任意两个向量都线性无关.(C) a1 , a2 , ,as 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D) a1 , a2 , ,as 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四(本题满分 6 分)1988 年 第 2 页设 u = yf (x) + xg(y) ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 x2 u+ y2u.yxx 2xy解：u xy yy = f+ g -g.x y x x x 2 u1 x y 2y =f +g.x2yx3 y x 2ux x y y = -f -g.xyy2x2 y x 所以 x 2 u+ y2u= 0 .x 2xy2 分3 分5 分6 分五、(本题满分 8 分)设函数 y=y(x)满足微分方程 y-3y+ 2y = 2ex , 且图形在点(0，1)处的切线与曲线y = x2- x +1在该点的切线重合，求函数 y = y(x).解：对应齐次方程的通解为 Y = C e x +C e2x .2 分12设原方程的特解为 y* = Axex ,3 分得 A = -2 .4 分故原方程通解为 y ( x) = C e x+C e2 x - 2xe2x .5 分12又已知有公共切线得 y |x =0 =1, y| x=0 = -1，7 分 c + c= 1,即 12解得 c1 = 1, c2= 0 .8 分c1 + 2c2 =1所以 y = (1 -2 x)e2x .六、(本题满分 9 分)k设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 r 2 (k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线 y = 2x - x2 自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A对质 M 点的引力所做的功.解： MA =0 - x,1 - y2 分r = x 2 + (1 - y) 2 .因引力 f 的方向与 MA 一致，故 f =k-x,1 - y .4 分r31988 年 第 3 页从而W = BOk -xdx + (1 - y ) dy6 分3r= k (1 -1) .9 分5七、(本题满分 6 分)100 10 0已知 AP = PB ,其中 B = 000 , P = 2-1 0 求 A 及 A5 .0021 1-1 100解：先求出 P-1 =2-10 .2 分-411100 10 0 10 0 因 AP = PB ，故 A = PBP-1 =2-10000 2-1 02110-41 10 -1 10 0 10 0 10 0 =20 0 2-1 0= 20 0 .4 分21 160 -1 -4-1 -15个5个从而 A5 = AAAAA =（PBP -1）(PBP -1 ) (PBP -1 ) = PB 5 P -1 =PBP -1 =A .6 分八、(本题满分 8 分)200 200已知矩阵 A = 001 与 B= 0y0 相似，0 1 x0 0-1(1) 求 x 与 y； (2)求一个满足 P-1 AP = B 的可逆矩阵 P .解：(1) 因 A 与 B 相似，故| lE - A |=| lE - B | ，即1 分l - 200l - 2000l-1=0l - y0，0-1 l - x00l +1亦即 (l -2)(l2 - xl -1) = (l -2)(l2 +(1 - y)l - y) .1988 年 第 4 页 200 200比较两边的系数得 x = 0, y = 1 .此时 A =001， B =010.3 分0 100 0-1(2) 从 B 可以看出 A 的特征值 l = 2,1, -1 .4 分1 对 l = 2 ，可求得 A 的特征向量为 p1 = 0 . 0 0 对 l =1 ，可求得 A 的特征向量为 p2 = 1 .1 0对 l = -1 ，可求得 A 的特征向量为 p=1 .7 分3-1因上述 p1 , p 2 , p3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.100令 P = ( p , p , p ) =011，则 P 可逆，且有 P-1 AP = B .8 分1230 1-1九、(本题满分 9 分)设函数 f (x) 在区间 a, b上连续，且在 (a, b) 内有 f (x) 0 .证明：在 (a, b) 内存在唯一的x ，使曲线 y = f (x) 与两直线 y = (x ), x = a 所围平面图形面积 s1 是曲线 y = f (x) 与两直 线 y = (x ), x = a 所围平面图形面积 s2 的 3 倍.证：存在性 在 a , b 上任取一点 t ，令F (t) = at f (t) - f (x)dx - 3tb f (x) - f (t)dx= f (t )(t - a ) - at f (t ) dx -3 tb f ( x) dx - f (t )(b -t) 3 分则 F (t) 在 a , b 上连续.又因 f (x) 0 ,故 f ( x) 在 a , b 上是单调增加的.于是在 ( a , b) 内取定