1978-1982年高考数学试题全国卷

历年高考数学试题整理 （自我） 试卷版 1978年试题高考数学试题全国卷注意事项:1.理工科考生要求除作（一）-（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）-（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1. 分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2. 已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AMMN于M点,BNMN于N点,CDAB于D点.求证:1)CD=CM=CN; 2)CD2=AMBN.（四）已知log189=a(a2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知ABC的三内角的大小成（六）已知、为锐角,且3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等. 1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2r=a.3.解:lg(2+x)0,2+x1.x-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA、CB,则ACB=90.ACM=ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,ACD=ABC（同角的余角相等）,ACM=ACD.ACMADC.CM=CD.同理CN=CD.CD=CM=CN.2)CDAB,ACB=90,CD2=ADDB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,CD2=AMBN.（四）解法一:log189=a,18a=9.又18b=5,45=95=18a18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,log1836x=log1818a+b但36=218=49,log18(218)=log18(229).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180,又2B=A+C.3B=180,B=60,A+C=120.以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上. (3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.(x+m)2=1-a.因而当1-a0即a1时,直线l与抛物线相交,而1-a1时,直线l与抛物线不相交.即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45.直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等._中国大方题库网1979年试题高考数学试题全国卷理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤1公斤，乙有2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4. 叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得BAP=,同时在B站测得ABP=.问及满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角.求证:ABC是锐角三角形. 7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718为底的对数.本题中增长率x13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取 k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.95650, 由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0.直线OA的方程为y=xtg,直线OB的方程为y=-xtg,直线AB的方程为x=h.又因为P点在AOB内,于是由条件PDPF=PE2得x2sin2-y2cos2=(h-x)2,(1)即 x2cos2-2hx+y2cos2+h2=0. 除以cos2(0)得 (2)由条件PD+PE=PF得xsin-ycos+h-x=xsin+ycos,即x+2ycos=h. ()由(1),()得x2sin2-y2cos2=4y2cos25y2cos2=x2sin2,由 PD+PEPF可知y0,所以这里右端取正号.代入()得解法二:设OP与正x轴的夹角为,则PD=OPsin(-)=OP(sincos-cossin)=xsin-ycos,PF=OPsin(+)=OPsincos+cossin=xsin+ycos.以下与上面的解法一相同。中国大方题库网1980年试题高考数学试题全国卷(理工农医类) 一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.2、 半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.3、 用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.7、 CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、CBD、ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示).九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点. 1980年试题(理工农医类)答案二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数,logabx=logaN,xlogab=logaN.b1,logab0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,N=bx=(alogab)x=axlogab,xlogab=logaN.b1,logab0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.PA平面M,PAl.又PB平面N,PBl.l平面PAB,lAB.六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB),BD2=ADAB.但AC2=ADAB,BD=AC.两端乘以正数sin,问题化为证明2sinsin21+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式(1+cos)4(1-cos)cos-10.8t2(1-t2)(1+t2)2,即-9t4+6t2-10,-(3t2-1)20.不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是a1;这时,(E)与y轴的中国大方题库网1981年试题高考数学试题全国卷(理工农医类)1、 设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A=有理数,B=无理数,试写出:(1)AB,(2)AB.2、 在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.4、 写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n3). 1981年试题(理工农医类)答案 一、解:(1)AB=实数.(或AB=R,或AB=实数集合.)(2)AB=.(或AB= ,或AB=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=bsin(180-A)2+c+bcos(180-A)2=b2+c2-2bccosA.如果A是直角,cosA=0,a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=BC2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)0.原不等式的解是x0,xa+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 101.02, 10(1.02)2,的第21项,即x=10(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10(1+y%)2012,即(1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线ADa于点D;在平面Q内,作直线BEa于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.ABC等于AB和a所成的角.ADC为二面角P-a-Q的平面角, ADC=120.又AD=2,BCDE为矩形, CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面.再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面,BCAC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在ACD所在的平面内,作AFCD交CD的延长线于F点.因为ACD所在的平面平面Q,AF平面Q.在ADF中,ADF=60,AD=2,连结BF,于是ABF是AB和平面Q所成的角,而ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1,(i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以()无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2-sin2)t2+2(4cos-sin)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=ACBC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证un=un-1+un-2成立,只要证明an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,即an-1a2-(-1)n-1bn-1b2=an-1a+(-1)n-1bn-1b+an-1-(-1)n-1bn-1,或或上式确是等式,故证得un=un-1+un-2.中国大方题库网1982年试题高考数学试题全国卷(理工农医类)一、填表:二、(1)求(-1+i)20展开式中第15项的数值;三、在平面直角坐标系内,下列方程表示什么曲线?画出它们的图形.四、已知圆锥体的底面半径为R,高为H.求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).五、设0x0,a1,比较loga(1-x)loga(1+x)的大小(要写出比较过程).六、如图:已知锐角AOB=2内有动点P,PMOA,PNOB,且四边形PMON的面积等于常数c2.今以O为极点,AOB的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线.七、已知空间四边形,ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证MNPQ是一个矩形.8、 抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切.九、附加题:计入总分.已知数列a1,a2,an,和数列b1,b2,bn,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n2),(p,q,r是已知常数,且q0,pr0).(1)用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明; 1982年试题(理工农医类)答案一、本题考查对函数定义域的理解和表示实数范围的方法.解:(1)x=0(或0等)(2)x为任意实数(或R;或(-,+);或-x+等)(3)x为任意实数(或R;或(-,+);或-x0(或(0,+);或0x0的一切实数;或x是正实数;或xx0;或xx0等)(6)x为任意实数(或R;或(-,+);或-xh0,五、本题考查绝对值概念,对数函数的性质及两个实数比较大小的方法.解法一:当a1时,loga(1-x)=-loga(1-x),loga(1+x)=loga(1+x),= -loga(1-x)+loga(1+x)=-loga(1-x2). a1,01-x20, loga(1-x)loga(1+x).当0a1时,loga(1-x)=loga(1-x),loga(1+x)=-loga(1+x),loga(1-x)-loga(1+x)=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2). 0a1,01-x20, loga(1-x)loga(1+x).因此当0x0,a1时总有解法二: 1+x1,01-x1,01-x21,log1+x(1-x2)1,六、本题考查用极坐标求轨迹方程,三角恒等式的运用,由极坐标方程化为直角坐标方程及判断二次曲线的类型等能力.解:设P点的极坐标为(,), POM=-,NOP=+,OM=cos(-),PM=sin(-),ON=cos(+),PN=sin(+),四边形PMON的面积依题意,动点P的轨迹的极坐标方程是:用倍角公式化简得 用和、差角公式或和差化积公式化简得用x=cos,y=sin化为直角坐标方程:上式化为这个方程表示双曲线.根据题意,动点P的轨迹是双曲线右面一支在AOB内的一部分.七、本题考查立体几何的一些基本概念,空间图形的想象能力和平面几何的一些基本知识.解:连结AC.在ABC中,AM=MB,CN=NB,MNAC.在ADC中,AQ=QD,CP=PD,QPACM