三角函数的图象与性质

第二讲 三角函数的图象与性质第二讲 三角函数的图象与性质 一 三角函数的图象与性质一 三角函数的图象与性质 函 数 sinyx cosyx tanyx 图象 作图 五点法 作图 五点法 作图 三点二线 定 义 域 2 x xkkZ 值 域 1 1 1 1 最 值 当x 2k ymax 1 2 当 x 2 k ymin 1 3 2 当 x 2k ymax 1 当 x 2k ymin 1无 奇偶奇函数偶函数奇函数 T2 2 单 调 性 递增 2 2 22 kk 递减 3 2 2 22 kk 递增 2 2 kk 递减 2 2 kk 递增 22 kk 2 kxx k 对称轴 对称轴经过最高点或最低点的直线 无 0 k 0 2 k 对称 中心 图像与 x 轴的交点 例例 1 1 1 1 使函数xysin 递减且函数xycos 递增的区间是 A 2 2 3 B 2 3 2 2 kk Zk C kk2 2 2 Zk D kk2 2 2 Zk 来源 Zxxk Com 2 xysin 与 xycos 的周期是 的周期是 tanyx 2 2 正弦型函数正弦型函数的性质及研究思路的性质及研究思路 sin 0 0 yAxA 整体思想 整体思想 把 看成一个整体 代入的性质中进行求解解 x sinyx 周期性周期性 函数函数 y Asin x y Asin x y Acos x y Acos x 的最小正周期都是 的最小正周期都是 2 2 函数函数 y Atan x y Atan x 的最小正周期是的最小正周期是 例例 2 2 1 1 2010 湖北文 湖北文 2 函数 f x 3sin 24 x xR 的最小正周期为 2 2008 江苏卷 cos 6 f xwx 的最小正周期为 5 其中0w 则w 最值 或值域 最值 或值域 函数 y Asin x 其中 A 0 的值域为 AA 当当时 当当时 2 2 xk Ay max 3 2 2 xk Ay min 特别提醒 自变量特别提醒 自变量 x x 有限制条件时 注意数形结合有限制条件时 注意数形结合 单调性单调性 函数的单调区间的确定 基本思想是把 看成一个整体 00 sinAyAx x 由解出的取值范围所得区间即为增区间 22 22 kxk x 由解出的取值范围所得区间即为减区间 3 22 22 kxk x 特别提醒特别提醒 是负数 先利用诱导公式化为正数若 A 是负数 单调区间应在相反的单调区间内求 例例 4 4 1 1 3 2sin xy的单调增区间是 2 函数为增函数的区间是 2 6 sin xy 2 0 x A B C D 3 0 12 7 12 6 5 3 6 5 对称性对称性 令 x k 2 从而得到函数 y Asin x 对称轴方程为 2 k x 令 x k k Z 从而得到函数 y Asin x 对称中心为 k 0 见例见例 5 5 特别提醒特别提醒 对称轴是经过图象最高点或最低点垂直于对称轴是经过图象最高点或最低点垂直于 x x 轴的直线 轴的直线 对称中心是图像与图像与 x x 轴的交点轴的交点 例例 5 5 1 1 函数图像的对称轴方程可能是 sin 2 3 yx A B C D 6 x 12 x 6 x 12 x 2 2 如果函数 如果函数 y 3cos 2x 的图象关于点的图象关于点 0 中心对称 那么中心对称 那么 的最小值为的最小值为 4 3 A B C D 6 4 3 2 奇偶性奇偶性 y Asin x 为偶函数 y Asin x 为奇函数 2 Zkk y Acos x 为偶函数 y Acos x 为奇函数 Zkk Zkk 2 Zkk 例例 6 6 1 函数是上的偶函数 则的值是 sin 2 0 yx R A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 4 2 2 把函数的图像向左平移个单位 所得的函数为偶函数 则的最小值为 3 4 cos xy 的图象的图象sin 0 0 yAxA 五点法图五点法图 把 看成一个整体 取时的五个自变量 x 值 相应的函数值为x 3 0 2 22 x 描出五个关键点 得到一个周期内的图象 0 0 0AA 三角函数图象变换路线三角函数图象变换路线 路线一路线一 先平移后伸缩 sinyx 左移个单位 sin yx 1 横坐标变为倍 sin yx A 纵坐标变为倍 sin yAx 路线二路线二 先伸缩后平移 sinyx 1 横坐标变为倍 sinyx 左移个单位 sin yx A 纵坐标变为倍 sin yAx 例例 6 6 1 2010 四川文 四川文 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B y sin 2 5 x C y 1 sin 210 x D 1 sin 220 yx 2 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再将所得的图象向左平移sin 3 yx 个单位 得到的图象对应的僻析式是 3 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 sin 2 yx 1 sin 22 yx 1 sin 26 yx sin 2 6 yx 3 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数sin 2 6 yx 的图像 B A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 研究函数研究函数 y Acos x y Acos x y Atan x y Atan x 的性质的方法与其类似的性质的方法与其类似 例例 3 3 函数的定义域 值域 并指出它的周期性 奇偶性 单调性 xy3 3 tan 三三 由 由 y y Asin xAsin x 的图象求其解析式的图象求其解析式 一般步骤 确定 A 根据函数的最大值 M 最小值 m 图象最高 最低点的纵坐标 确定 找周期找周期 根据相邻的最大 最小值点横坐标间的距离为半个周期 相邻两个零点为半个周期等 确定 代已知点 特别提醒特别提醒 要注意所代的点是五点法的哪一点 例例 7 7 1 2009 辽宁卷文 已知函数 sin 0 f xx 的图象如图所示 则 2 2 00 ARxxsinAxf的图象 部分 如图所 xf的解析式是 A Rxxsinxf 6 2 Rxxsinxf 6 22 Rxxsinxf 3 2 3 已知函数 y Asin x A 0 0 0 的两个相邻最值点为 6 2 3 2 2 则这个函数的解 析式为 y 四 求复杂的三角函数式的图象和性质求复杂的三角函数式的图象和性质 要先化简为要先化简为 Asin x m Asin x m 或或 Acos x mAcos x m 的形式的形式 再讨论性质再讨论性质 例例 8 18 1 已知函数 3 2 1 cos3cossin 2 Rxxxxxf 1 求 xf的单调递增区间 2 求 xf图象的对称轴方程和对称中心的坐标 2 2 20102010 北京文 北京文 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 x 2 y O 2 3 1 6 5 3 3 已知函数xxxxxf 44 sincossin2cos 1 求的最小正周期 2 若 求的最大值 最小值 xf 2 0 x xf 3 3 20102010 北京文 北京文 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 4 已知函数 sin 3 0 0f xAxAx 在 12 x 时取得最大值 4 1 求 f x的最小正周期 2 求 f x的解析式 3 若f 2 3 12 12 5 求 sin 5 函数 22 sincos 2cos 0 f xxxx 的最小正周期为 2 3 求 的最小正周期 若函数 yg x 的图像是由 yf x 的图像向右平移 2 个单位长度得到 求 yg x 的单调增区间 自我测试自我测试 1 函数f x 2sinxcosx是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 2 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 3 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 A sin 2 2 yx B cos 2 2 yx C sin 2 yx D cos 2 yx 4 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 C A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 5 已知函数 sin 0 2 yx 的部分图象如题 6 图所示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 6 D 2 6 6 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集合 7 2009 北京文 本小题共 12 分 已知函数 2sin cosf xxx 求 f x的最小正周期 求 f x在区间 6 2 上的最大值和最小值 7 2008 广东 已知函数 sin 0 0 f xAxA