“变”与“多”.doc

教学论文 数学解题中的“变”与“多”培养学生的发散思维陕西省府谷县三道沟学校：刘永兵发散思维（convergent production）又称为求异思维、开放性思维。发散思维是一种非线性思维，其思维活动方式是分散的，辐射的，扩散的，主要为形象思维。发散思维是创造思维的重要支点，是学生将来成为创造性人才的基础。一个人的创新，无非是想到别人还未想到的可能性，或者说，就是别人思维尚未扩散到的领域，被你的思维扩散到了。比如在数学解题教学中，“对同一个数学问题，有的学生可能冥思苦想，百思不得其解。”什么原因？归根到底，就是他的思维尚未扩散到能够完成解题的思路上来。所以说我们实施创造教育，大量培养创造型人才，就必须将发散思维的训练、发散思维能力的培养放在重要地位上。一、变静为动培养学生的发散思维。图形的运动变化,真实地反映了现实世界中数形的变与不变两个方面,从辩证的角度去考察、探索、研究此类问题,是提高学生应变思维能力的重要策略,它是考查学生能力的一种极好题型,近年来备受各地中考命题者的青眯。把几何图形从静止状态中转化为运动状态,使学生能用运动的观点看问题,加深对图形的认识程度,激发学习兴趣,发挥学生的想象能力,增强发散思维能力。B例1：如图1，大小两个同心圆。圆心为O，AB与小圆相切于C，线段长12厘米。求圆环的面积。BAOOAC图1图2分析与解求圆环的面积，常用的方法是用大圆的面积减去小圆的面积。但是题目中没有已知大小圆的半径，解答十分困难。我们不妨换一种思考方法，让静止的图形动起来，使图形由一般变成特殊。即让小圆尽可能缩小，外圆也跟着缩小，但AB的长度始终保持12厘米不变。则图形变成直径为12厘米的圆（如图2），求出圆的面积就是求出原题中圆环的面积。列式为：3.14(122)2=113.04（平方厘米）。例2：两个边长为a的相同正方形，其中一个正方形的顶点是另一个的中心，求两正方形重叠部分的面积。分析：如图a，由于正方形可以旋转，图形放置的任意性和不确定性，使我们可能一时看不出重叠面积的求法，这时，让图形运动变为特殊情况（如图b），这时，显然两正方形和的重叠部分的面积是。 图（a） 图(b)图a、图b，两种状态作一比较容易得出两种求法：因为将正方形旋转到位置后，转过的两个直角三角形全等，所以，一般位置下的和的重叠部分面积仍为。图b，这一特殊位置下的求解，表明过正方形的中心的两条垂直直线将分成完全相同的四部分，那么这两条垂直直线绕着中心旋转即任一状态下结论仍然成立。二、 在教学中用一题多变训练思维的变通性。对于一道习题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好充其量只不过是解决了一个问题，如果对它进行研究，加以引伸和推广，将命题中特殊条件一般化，或在同一条件下继续探索求其它结论，从而发现新问题，那么就可以解决一类问题。因此在教学中注意经常地引导学生将问题加以拓展，可以培养学生的发散意识，激发他们的创造欲望和培养创新精神。例如：O1与O2外切于A，BC是两圆外公切线，B、C为切点，求证ABAC.这个命题本身易证。现在我将它的题设进行变化，则结论又如何变化？如改变两圆位置关系或改变直线BC与圆的位置关系时，结论又如何变化呢？变式一：（拉近两圆）O1与O2相交于A1 、A2 ，BC是两圆外公切线，求证:BA1C+BA2C=180变式二：（推开两圆）O1与O2相离，直线O1 O2交O1于D、 A1 ，交O2于A2 、E，BC是两圆外公切线，求证:（1）BA1C=BA2C；（2）BA1CA2 ；（3）BDCE.变式三：（BC变割线）O1与O2外切于A，BC割O1于B、D，割O2于E、C，求证:（1）BAC+DAE=180 （2）BAE+DAC=180变式四：（BC变一切线一割线）O1与O2外切于A，BC割O1于B、D，且切O2于C，求证:BAC+DAC =180变式五：（BC变一切线一割线且拉近两圆）O1与O2相交于A1 、A2，BC割O1于B、D，割O2于C，求证:BA1C+DA2C=180（上述各变式的证明略）从上述例题的变式训练可见，通过一题多变，变单向思维为多向思维。充分挖掘题目的内涵，从不同的方面，不同的角度去分析、探索条件和结论，提出多种设想，开拓了学生的思路，大大地训练学生变通能力。三、 在教学中用一题多解变单向思维为多向思维。在解题教学中，不要追求学生思路跟教材一致，要创设态度民主型，思维开放型的各种解法。教师在备课中要尽量挖掘富于变化的例题或习题等，通过课堂上的点拨、暗示等，从而发现不同的解题方法。达到训练学生的多向思维，发展创造思维能力。例如高中数学中的一题：求的值。解法1：从“和差积互化”角度求解。解法2：借助几何图形，原式变形为,它的结构与形状和三角形中的余弦定理相似，故如图a所示，可作ABC，由余弦定理和正弦定理得：因为:， ，,所以：。所以，原式=cbaABC图a这种解法完全避开了和差化积、积化和差等知识，仅用到熟知的正、余弦定理，可谓驾轻就熟，加出心裁，使学生欣赏到数学的奇异美！如果说上面的解法能使人感到激动，那么下面的解法更令人振奋。CDOAB解法3：原式可变为，如图b所示，构造直径为1的O，以A为顶点在直径AC异侧作BAC=，DAC=，由RtABC与RtADC知：AB=，AD=，由正弦定理，DB=，所以： 图b即：原式=解法4:设,则：两式相加，却得。这种构造对偶式解题，效果奇特，别具风格。解法5：令，则,.所以：原式 变量代换是一种重要的数学思想和方法，这里的和差代换法，源于恒等式，.它是绚丽多彩的换元法中的一朵奇葩！在教学中若能适当地进行一题多解的练习，积极引导学生从不同的思路入手，不依常规，导求变化，探究多种解法，可以沟通知识之间的联系，从而达到灵