数学基本思想的内涵、特征

数学基本思想的内涵 特征及其教学意蕴 南京市瑞金北村小学仲广群 课程标准 2011版 的亮点 双基 变 四基 双能 变 四能 课标对数学基本思想的表述 数学思想蕴含在数学知识的形成 发展和应用的过程中 是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括 如抽象 分类 归纳 演绎 模型等 学生在积极参与教学活动的过程中 通过独立思考 合作交流 逐步感悟数学思想 数学思想的含义 是可以从多方面解释 一是推进和支撑数学产生 发展的思想 二是在学生数学学习中获得的思想 三是联合国教科文组织关于数学思想的刻画 推进和支撑数学产生 发展的思想 古巴比伦与埃及的数学是外国数学的两大源流 数学教育也是如此 推进和支撑数学产生 发展的思想 古希腊的数学 论其成就的不胜枚举了 毕达哥拉斯对于数列的研究 毕达哥拉斯定理 不可公度比的发现 平面几何的许多定理 厄里亚学派的四个关于运动的驳论 柏拉图学派对于立体几何的研究 欧几里得的 几何原本 阿基米德关于面积和体积的研究 托勒密的三角术等等 三次数学危机 推进和支撑数学产生 发展的思想 1 数学教育应该首先满足学生离校后参加生产及日常生活的基本数学需要 2 数学课程应该随着数学科学本身的不断发展而不断更新 3 数学教育应培养勇于探索的精神和追求真理的理想 4 数学教育要让学生得到美的享受 心灵的陶冶 数学与文学数学与音乐 绘画数学与生物数学与军事数学与人的培养 刘三姐与三个秀才的对歌 罗秀才 小小麻雀莫逞能 三百条狗四下分 一少三多要单数 看你怎么分得清 刘三姐 九十九条打猎去 九十九条看羊来 九十九条守门口 还有三条狗奴才 苏东坡的 百鸟图 归来一只又一只 三四五六七八只 凤凰何少鸟何多 啄尽人间千石食 学生在数学学习中获得的思想 一流教师教智慧 二流教师教方法 三流教师教知识 分类 分类通常是揭示概念外延的一种逻辑方法 也就是以比较为基础 按照事物间性质的异同 将相同性质的对象归入一类 不同性质的对象归入不同类别的过程 转化 转化又称为化归 就是转化和归结的意思 其基本思想是 把有待解决的问题 通过转化的手段 归结为一类已经解决或较容易解决的问题 并通过对后者的解决实现对前者的解决 数学家与物理学家的故事 数学家问物理学家 假如你有一个空水壶和一个没点火的炉子 你要怎样烧开水呢 物理学家说 我把壶灌满水 把炉子点着 再把壶放到炉子上 数学家接着说 答对了 但是假如原来壶里已经灌满了水 炉子也点着了 你又如何烧开水呢 物理学家说 那不是更简单了吗 我只要把水壶放到炉子上就好了 数学家叹口气说 错了 错了 你应该把水倒掉 把炉火熄灭 那样你就把这个新问题转化到原来的老问题了 数形结合的思想 数 和 形 是数学研究的两个基本对象 数 构成了数学的抽象化语言 形 构成了数学的直观化图形语言 由于两者各有优势 所以人们经常把两者结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 使数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一 从而使问题得到有效解决 类比 关注两个对象在某些方面的相同或相似之处 从而推测它们在其他方面也可能存在相同或相似之处 抽象 亚里士多德 数学家用抽象的方法进行思考 去掉事物中那些感性的东西 对于数学而言 点 线 角或是其他量的定义 不是作为存在而是作为关系 抽象 对于抽象 在数学上只有两种 一种是数量与数量关系的抽象 一种是图形与图形关系的抽象 所以 数学本质上研究这两种关系的抽象 抽象 抽象可分为两个层次 第一个层次叫直观描述 第二个层次叫符号表达 抽象 以 认识分数 教学为例 抽象 抽象是数学活动中最为基本的思维方法 也是数学化活动的一般思想方法 指人们在对客观事物的属性和特点进行分析 比较和综合的基础上 舍弃其非本质的属性 而抽取其本质属性的思维过程 是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法 推理 推理是从一个命题判断到另一个命题判断之间的思维过程 推理 推理的上一个层次 叫思维 思维有三种形式 形象思维 逻辑思维 辩证思维 这三种思维中 数学只用一种 逻辑思维 与逻辑思维所对应的是逻辑推理 推理 从一系列具体事实概括出一般原理的过程 称为归纳推理 从普遍性结论或一般性前提出发 推出个别或特殊结论的过程 称之为演绎推理 归纳推理 有8个男生在跳绳 7个女生在跳绳 还有12个女生在踢毽子 求跳绳和踢毽子的一共有多少人 演绎推理 当学生学习了 a b c a b c 以后 要求学生应用加法结合律进行27 48 52的简便计算时 学生根据已经获得的定义 定律 公式等 去解决一个个具体的问题 这便是一个演绎的过程 使得抽象的数学概念 规律和原理具体化 从而促进数学知识的理解和掌握 发展推理能力和思维能力 归纳推理和演绎推理的教育价值并不相同 因为归纳是被看做数学探索和数学发现过程中的一种特别重要的方法 而演绎推理虽然 也是必要的 但这种推理不能用于发现新命题 多年来 我国基础教育重在学生思维能力的培养上 而弱于归纳能力的训练 给创新型人才的培养带来了严重的障碍 所以 我们应更为关注对学生归纳推理能力的培养 模型 模型思想是指用数学模型方法处理和解决实际问题的一种思想 数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁 通俗地表达 数学模型是借助数学的语言讲述现实生活的故事 就小学阶段而言 主要有两种模型 一个是部分量 部分量 总量 还有一个是每份数 份数 总数 西安的大雁塔高64米 比小雁塔高度的2倍少22米 小雁塔高多少米 ax b c 第一 为什么我们每天与数学思想打交道 但我们却处于无意识状态呢 第二 既然数学思想本身就蕴含在数学知识和数学活动中 我们是不是不必专门加以关注 是否关注数学基本思想的教学 其本质区别在哪里呢 数学基本思想的特性 内隐性概括性层次性 层次性 数学观念数学思想解题通法解题术 数学观念 自我意识整体意识推理意识运动与变化意识本质地看问题的意识用数学的意识审美意识等 数学基本思想的教学价值 首先 重视数学思想方法有助于学生更好地理解和掌握相关的数学知识 其次 重视数学思想有助于促进学生形成良好的认知结构 再次 重视数学思想有助于培养学生的创新能力和提高学生的数学素养 让学生终身受益 工程师 物理学家和数学家怎么处理问题 一位农夫请了工程师 物理学家和数学家来 想用最少的篱笆围出最大的面积 工程师用篱笆围出了一个圆 宣称这是最优设计 物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线 假如篱笆是无限长的 认为围起来半个地球总够大的了 数学家好好嘲笑了他们一番 他用很少的篱笆把自己围了起来 然后说 我现在是站在外面 天文学家 物理学家和数学家会怎么表达观点 天文学家 物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰 他们往外眺望 看到田野里有一只黑色的羊 天文学家说 多么有趣 所有的苏格兰羊都是黑色的 物理学家反驳道 不 某些苏格兰羊是黑色的 数学家慢条斯理地说 在苏格兰至少存在着一块田地 至少有一只羊 这只羊至少有一侧是黑色的 联合国教科文组织关于数学思想的刻画抽象 推理 模型 抽象 从现实问题到数学问题的发展 推理 从数学问题到数学理论的发展 模型 多级抽象与推理的结果 三者之间是先后关联