自主_140302_圆锥曲线

姓名 班级 培优培优 3 数学数学 圆锥曲线专题圆锥曲线专题 参数方程参数方程 请写出椭圆 双曲线 抛物线 的参数方程 并指出椭圆参数方程中的参数的实 际意义 参数化有什么应用 可以解决哪些问题 1 已知 22 uyx 2vxy 若点在单位圆上以为起点按顺时针方向转一圈 求点的轨迹 x y 0 1 u v 若点 在直线上运动 而点在过点的直线上运动 求 x yyaxb u v 1 1a 的值 2000 交大 16 b 2 由参数方程所表示的曲线是 复旦 2001 15 1 1 xt t yt t A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆 思考 有哪些常见的消参方法 3 已知抛物线族 其中参数 22 26 cos9sin8sin9yxxttt tR 1 求抛物线顶点的轨迹方程 2 求在直线上截得的最大弦长的抛物线方程及最大弦长 2001 上交 22 12y 极坐标方程极坐标方程 请翻阅教材 确定以原点为顶点的射线 直线 垂直或平行极轴的直线 以原点为圆心 的圆 过原点且圆心在极轴上的圆的方程 并思考 该如何得到任意直线和圆在极坐标下的 方程 以椭圆的左焦点为原点 长轴正方向为极轴 试利用椭圆的第二定义 推导椭圆的极坐标 方程 如果以椭圆的右焦点为原点 方程为何 如果以椭圆中心为原点 方程为何 椭圆的焦距是 复旦 2001 5 3 42cos 已知椭圆的左右焦点为 过分别过作两条相互垂直的 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 12 F F 直线 交椭圆于四点 求四边形面积的取值范围 A B C DACBD 光学性质光学性质 求证 从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点 你还知道其它圆 锥曲线的光学性质吗 请叙述但不必证明 2000 复旦 解答题 2 双曲线 抛物线的类似结论 图像变换图像变换 抛物线的准线方程为 复旦 2001 14 2 41yx A B C D 1x 2x 3x 4x 极点与极线极点与极线 准备 乐学七中 蓝书 P20 备选例 1 结论 已知椭圆方程为 任一点 直线 称为点 P 对 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 应的极线 点 P 称为直线的极点 00 22 1 x xy y ab 特别的 焦点和相应准线是一对特殊的极点和极线 验证 极点极线有如下性质 若 P 在椭圆上 则 P 的极线是椭圆的切线 若 P 在椭圆内 则 P 的极线与以 P 为中点弦平行 它们的斜率是 若 P 在椭圆外 则 P 的极线是过 P 做椭圆的两条切线的切点的连线 切点弦 极点与极线的对偶性 P 点极线上的点的极线过 P 点 反之过 P 的任意直线对应的极 点必在 P 的极线上 过点 P 作曲线 C 的两条割线 L1 L2 L1交曲线 C 于 AB L2交曲线 C 于 MN 则直线 AM BN 的交点 T 直线 AN BM 的交点 S 必都落在点 P 关于曲线 C 的极线 L 上 点 P 是曲线 C 的极点 他对应的极线为 L 则有 若 C 为椭圆或双曲线 O 是 C 的中心 直线 OP 交 C 与 R 交 L 于 Q 则 即 2 OQROPO OPOR OROQ 若曲线为抛物线 过点 P 作对称轴的平行线交 C 于 R 交 L 于 Q 则 PR QR 请以此为背景 阅读蓝书 P25 左上例 2 完成以下两题 椭圆有两顶点 A 1 0 B 1 0 过其焦点 F 0 1 的直线 l 与椭圆交于 C D 两点 并与 x 轴交于点 P 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q 1 当时 求椭圆的方程 3 2 2 CD 2 当点 P 异于 A B 两点时 求证 为定值 2011 四川高考 OP OQ 已知椭圆 与圆 过椭圆上一点 P 作圆的两条切线 切点弦所在 22 22 1 xy ab 222 xyb 的直线与 x 轴 y 轴分别交于点 E F 求面积的最小值 2014 华约 5 EOF 典型问题典型问题 面积相关 1 在直角坐标系中 是原点 是第一象限内的点 并且在直线上O A BA tanyx 其中 是双曲线上使的面积最 4 2 1 2cos OA B 22 1xy OABA 小的点 求 当取中什么值时 的面积最大 最大值是多少 复旦 4 2 OABA 2001 26 2 设 A B C D 在上 A D 关于抛物线的对称轴对称 过点 D 作抛物线的切线 与 2 4xy 切线平行的直线 l 交抛物线于 B C 点 D 到 AB AC 的距离分别为且 12 h h 12 2hhAD 1 试问 是锐角三角形 直角三角形 还是钝角三角形 并说明理由 ABC 2 若的面积为 240 求点 A 的坐标和直线 BC 的方程 ABC 2010 华约 12 3 已知 L1 L2为点 O 出发的两条射线 为一常数 直线 L 分别交 L1 L2于 A B 两点 且 AB 中点为 D D 随着 A B 运动构成轨迹 求证 轨迹关于 L1 L2夹角 AOB S 的角平分线反射对称 且轨迹为双曲线 2012 北约 4 轨迹问题 4 C1 和 C2 是平面上两个不重合的固定圆 C 是平面上的一个动圆 C 与 C1 C2 都相切 则 C 的圆心的轨迹是何种曲线 说明理由 2011 华约 6 杂题 5 设双曲线 椭圆 若 C2 的短轴长与 C1 22 1 2 2 0 4 xy Ckak a 22 2 22 1 xy C ab 的实轴长的比值等于 C2 的离心率 则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为 2010 清 华 2 2 2 4 4 4AkBCkD 6 用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面 一条抛物线讲平面分成两部分 区域 其中包含焦点的区域称作抛物线的内部 清华 09 5 7 点 P 为双曲线上任一点 PQ 为双曲线在 P 处的切线 F1 F2 为双曲线的焦点 证明 PQ 平分 北大 2011 12 FPF 8 已知椭圆 过椭圆左顶点的直线 与椭圆交于 Q 与 y 22 22 1 0 xy ab ab 0 Aa l 轴交于 R 过原点与 平行的直线与椭圆交于 P l 求证 成等比数列 2 AQOP AR 2009 清华 9 为上在轴两侧的点 求过的切线与轴围成面积的最小值 北大 AB 2 1yx y ABx 2010 3 已知 是正三角形 且在双曲线一支上 1 1 A ABC B C1 0 xyx 1 求证 B C 关于直线对称 2 求的周长 2009 清华 5 yx ABC 10 设 M 是直线上的点 与是椭圆的焦点 过点 M 以 24xy 1 F 2