2020届常德市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省常德市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】解不等式可得集合A,由对数的图像与性质可得集合B,再根据集合的交集运算即可求解.【详解】集合解绝对值不等式可得集合,由对数的图像与性质可知, 根据集合的交集运算可得即故选:A【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,对数的图像与性质,集合交集的运算,属于基础题.2已知向量，若，则 （ ）A2B3C4D5【答案】D【解析】根据向量数量积的坐标运算,先求得的值.由向量加法的坐标运算求得,即可求得.【详解】向量,若则由平面向量数量积的坐标运算可得 可解得 则,所以则故选:D【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.3已知复数满足：，其中是虚数单位，则“”是“在复平面内，复数对应的点位于第一象限”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】将根据复数除法运算,化简得.由复数在复平面内的坐标表示,即可判断.【详解】因为由复数的除法运算化简可得则复数在复平面内对应点的坐标为 当时,复数在复平面内对应的点在第一象限,所以是充分条件当复数在复平面内对应的点在第一象限时,所以不是必要条件综上可知, “”是“在复平面内,复数对应的点位于第一象限”的充分不必要条件故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,复数在复平面内对应点的坐标,充分必要条件的判断,属于基础题.4设为等差数列，首项，为其前项和，若，则公差 （ ）A-4B-2C2D4【答案】B【解析】根据,可知,结合及等差数列的通项公式,即可求得公差.【详解】由题意可知,则因为,由等差数列的通项公式可得,解得故选:B【点睛】本题考查了等差数列前n项和的应用,等差数列通项公式的基本量计算,属于基础题.5“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门.为了解某单位职工“学习强国”每天的学习时长与所得积分之间的关系，现从该单位随机抽取10名职工，统计他们某天的学习时长（分钟）得到条形图形如图所示，该10名职工的学习积分分别为，若学习时长与所得积分之间有线性相关关系，设其回归方程为.已知，.若该单位某人在一天的学习时长为40分钟，据此估计其所得积分为 （ ）A25B28C29D30【答案】C【解析】先根据条形图,求得学习时间的平均值.由线性回归方程经过平均数中心点,代入平均值可求得,进而得线性回归方程.代入学习时间,即可求得应得积分.【详解】由条形图可知,分钟由题意可知,代入线性回归方程中可得所以解得所以回归方程为当学习时间为分钟,即时,求得即所得积分应为29分故选:C【点睛】本题考查了线性回归方程的性质与简单应用,已知b求线性回归方程的方法,属于基础题.6函数的图象大致为 （ ）ABCD【答案】D【解析】排除法，求出函数的定义域可排除A、B，函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数的单调性，从而可得出结论【详解】解：由得且，即且，函数的定义域为，故A、B错；又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，时，由得，令，存在实数，使得，又函数在上单调递增，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；函数在上的单调性应是先递减后递增，故C错，D对；故选：D【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题7已知双曲线的左、右焦点为为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为 （ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意,画出双曲线及几何关系.由几何关系可得的三条边,结合余弦定理求得,即可得.进而求得,即可得双曲线的渐近线方程.【详解】根据双曲线的左、右焦点为为原点,以为直径的圆与的渐近线的一个交点为,如下图所示:则 所以在中,由余弦定理可得所以则所以则渐近线方程为故选:A【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,余弦定理在解三角形中的应用,双曲线中渐近线方程的求法,属于中档题.8九章算术中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，设，设该圆的半径为，由题意得，代入数据即可求出，从而可求出答案【详解】解：由题意，作出示意图得点为弦的中点，则，设，设该圆的半径为，由题意，“弦”指，“矢”指，该弧田的面积为，即，解得，或（舍去），解得，故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理，属于中档题9已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则或；若是异面直线，那么与一定相交；若，则其中所有正确命题的编号是（ ）ABCD【答案】D【解析】以长方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解【详解】解：画任意一个长方体如图，如图，直线平面，直线平面，平面，平面，但平面与平面相交，故错；若，则在平面内必存在一条直线使得，又，则或与重合，则或，故对；如图，直线平面，直线平面，直线与直线异面，但平面，故错；若，则在平面内且不在平面内必存在一条直线使得，又，则，又，则，则，故对；故选：D【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题10世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场, 中国女排在先胜一局的情况下,则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和即可得解.【详解】每场比赛中国女排获胜的概率为,该国女排获胜的概率为,现中国女排在先胜一局的情况下获胜,有以下三种情况:总共比赛三场,则第二场和第三场中国队获胜,所以此种情况下中国队获胜概率为 总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,该国胜一场.且第四场中国队获胜,则此种情况下中国队获胜的概率为总共比赛五场,则第五场中国队获胜,第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的概率为所以中国队获胜的概率为故选:A【点睛】本题考查了分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面,属于中档题.11将边长为，锐角为60的菱形沿较短的对角线折叠成120的二面角，若该菱形折叠后所得到三棱锥内接于球，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】画出菱形,并按照题意折叠.由空间几何体的结构特征,找出球心.利用勾股定理即可求得三棱锥的外接球半径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意,作出菱形,且.按照题意折叠成三棱锥,取中点,且,如下图所示:设为的中心,作平面于.根据菱形的性质及投影性质,可得与的延长线交于.因为菱形边长为所以.由,可知所以,由球的性质可知,球心在过且与垂直的直线上.如图所示,作 则四边形为矩形,设则,在与中,由勾股定理可得,即解方程可得所以球的表面积为 故选:B【点睛】本题考查了空间几何体的折叠变形,三棱锥外接球的球心找法,二面角的应用,综合性较强,对空间想象能力要求较高,属于中档题.12已知椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，且，则的离心率为 （ ）ABCD【答案】C【解析】以为邻边作平行四边形,根据向量数量积定义可得.作,由结合三角函数定义可表示出的坐标,代入椭圆方程化简即可求得的离心率.【详解】根据题意, 椭圆的左顶点为,右焦点为,若点为曲线上一点,可得几何关系如下图所示:以为邻边作平行四边形,作则因为,即,由平面向量数量积的定义可知所以四边形为菱形则又因为,则在和中,由三角函数定义可得 则,所以同理,所以M点的坐标为将M点的坐标代入椭圆方程可得而 代入化简可得 即 故选:C【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用,平面向量数量积运算,三角函数定义及椭圆离心率的求法,计算量较大,综合性强,属于难题.二、填空题13若实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】4.【解析】画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可求出答案【详解】解：由题意，实数满足的约束条件的可行域如图由得点，目标函数变形得，则由图可知，当直线经过时，目标函数取得最大值，故答案为：4【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题14曲线在处的切线方程为_【答案】.【解析】先求得导函数,再根据导数的几何意义求得在处的切线斜率.由点斜式即可求得切线方程.【详解】当时,即切点为且根据导数的几何意义,在处的切线斜率为由点斜式方程的求法可得故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.15已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则_【答案】5.【解析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式,代入即可求解.【详解】等比数列,则由等比数列的各项为正数,根据通项公式及前n项和公式可得,解方程组可得故答案为:【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n项和公式的简单应用,属于基础题.16若，为自然数，则下列不等式：；，其中一定成立的序号是_【答案】.【解析】对于根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式,根据移项变形,构造函数,通过求即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于,构造函数,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.【详解】对于若成立.两边同时取对数可得,化简得因为则,不等式两边同时除以可得令,则当时, ,所以即在内单调递增所以当时,即所以故正确对于若,化简可得令,则由可知在内单调递增而所以在内先负后正因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断与的大小关系.故错误.对于,若令利用换底公式化简可得,则当时, 所以,即则在内单调递减所以当时, 即所以正确综上可知,正确的为故答案为: 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,通过构造函数比较不等式大小,对分析问题的能力要求较高,属于难题.三、解答题17的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得.（2）利用正弦定理,表示出,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得的最大值.【详解】（1）,由正弦定理得从而有,；（2）由正弦定理得：,则,当时,取得最大值；【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,边角互化表示三角函数值,辅助角公式在三角函数化简中的应用,属于中档题.18如图，在三角形中，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据平面与平面垂直的性质,可得;圆的性质,易得,利用直线与平面垂直的判定可知平面,即可证明.（2）根据题意,可知三棱锥体积最大时,点处在半圆弧的中点.建立空间直角坐标系.求得平面与平面的法向量,利用法向量即可求得二面角夹角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面与半圆所在的平面垂直,交线为,又,所以垂直于半圆所在平面,又在半圆面内,故,又为直径,点为半圆弧上一点,故,且,因此平面,又平面,所以；（2）三棱锥体积最大时,点处在半圆弧的中点,建立如图所示空间直角坐标系,由题意知,则,设平面的一个法向得为,由,令,则,故,设平面的一个法向量为,由,令,则,故,此时由图可知,二面角为锐二面角所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,利用法向量发求二面角的夹角,计算量较大,属于中档题.19设是曲线上两点，两点的横坐标之和为4，直线的斜率为2.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，试求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意设出直线方程,并设.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得,即可得曲线的方程;（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得.结合直线方程可表示出.利用平面向量数量积定义,表示出.根据即可得.所以可得直线方程.结合弦长公式即可求得,利用点到直线距离公式可得点到直线的距离,进而求得三角形的面积.【详解】（1）设直线方程为：则,则,所以即曲线C的方程为；（2）设,曲线,变形可得,则曲线在点处的切线与直线平行可得：,所以,化简可得则,即直线方程为：弦长,高为点到直线的距离,所以【点睛】本题考查了抛物线方程的几何性质,直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义,点到直线距离公式的应用,综合性较强,属于难题.20一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【答案】（1）；（2），；（3）见解析.【解析】（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率.然后求得导函数,并令求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.（2）由（1）可知,.先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量的期望;（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.【详解】（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：,由得或（舍）当时,；当时,在上单调递增,在上单调递减,当时,有最大值,即的最大值点；（2）由（1）可知,则每盘游戏出现音乐的概率为由题可知；（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；令,则；所以在单调递增；即有；这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法,利用导数求得函数的最值,数学期望的求法,综合性较强,计算量较大,属于难题.21已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，若存在实数，使得，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先求得函数的导函数.令,分离参数后构造函数,并求得,通过判断在各区间内的符号,判断的单调性及的取值情况.即可根据的取值情况,判断极值点的个数.（2）将代入,并令,即可用表示出与,即可表示出.构造函数,并求得,结合的符号即可判断的单调性,进而求得的最小值.【详解】（1）由题可知,令,得,记,则当时,；时,；时,在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,又时,；时,；时,当时,函数有2个极值点；