05-06(2)高等数学试题(B)解答

高等数学试卷 B 卷 第 1 页 共 6 页 学院领导 审批并签名 B 卷 广州大学 2005 2006 学年第二 学期考试卷 高等数学 90 学时 参考解答与评分标准 题 次一二三四五六七八总 分 分 数201021211414100 得 分 评卷人 一 填空题 每空 2 分 本大题满分 20 分 1 设 则 y x xz ln 2 x z xy x 1 2 yx z 2 2 1 xy 2 曲面在点处的法向量 切平面方程为xyz 2 2 1 n 1 1 2 22 zyx 3 设为曲线上从点到点的一段弧 则 L 2 xy 0 0 1 1 ds 2 41x dx L dsy41 3 7 4 级数当时绝对收敛 当时条件收敛 1 1 1 n p n n p 1 p 1 0 5 微分方程的通解为 023 yyy y xx eCeC 2 21 满足初始条件 的特解为 0 0 y1 0 y y xx ee 2 学 院 专 业 班 级 姓 名 学 号 高等数学试卷 B 卷 第 2 页 共 6 页 二 选择题 每小题 2 分 本大题满分 10 分 1 在点可微是偏导数和存在的 A yxf 00 yx 00 yxfx 00 yxfy A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 无关条件 2 B x xy y x 11 lim 2 0 A B 01 C D 2 3 设为正向单位圆周 则 D L L dyyxdxyx 3 2 A B 2 C D 3 4 4 幂级数的收敛半径是 C n n n x n 2 14 A B 4 R 4 1 R C D 2 R 2 1 R 5 方程是 B dyxdxydydxxy 22 A 可分离变量的微分方程 B 一阶齐次微分方程 C 一阶线性微分方程 D 全微分方程 高等数学试卷 B 卷 第 3 页 共 6 页 三 解答下列各题 每小题 7 分 本大题满分 21 分 1 设 求和 其中具有二阶连续偏导数 y zf xy x x z yx z 2 f u v 解 3 分 x v v z x u u z x z 2 2 1 f x y f y 4 分 y f x y f xy f yf yx z 2 2 2 2 1 1 2 1 6 分 1 1 1 2221 2 2 2 12111 f x f x x y f x f x f xyf 7 分 22 3 112 2 1 1 f x y fxyf x f 2 已知是由方程确定的隐函数 求 yxfz yxzzln42 24 yxfz 的偏导数和全微分 解 记 则yxzzFln42 24 2 分yFxln4 y x Fy 4 zzFz44 3 5 分 zz y F F x z z x 3 ln 3 zzy x F F y z z y 7 dx x z dz dx zz y dy y z 3 ln dy zzy x 3 分 3 求的极值 yyxeyxf x 5 5 解 令 055 01 4 yf ef y x x 得驻点 3 分 1 0 1 0 x xx efA 0 xy fB 3 20yfC yy 4 x eyBACD 32 20 分 在点处 且 为极小值 6 1 0 020 D01 A3 1 0 f 分 在点处 不是极值 7 1 0 020 D 1 0 f 高等数学试卷 B 卷 第 4 页 共 6 页 分 四 解答下列各题 每小题 7 分 本大题满分 21 分 1 设二次积分 1 画出二次积分中的积分区域 11 0 y dxyxfdyIID 2 改换二次积分的积分次序 3 将二次积分化为极坐标形式的二次积分 II 解 1 作图从略 2 分 2 4 x dyyxfdxI 0 1 0 分 3 7 sec 0 4 0 sin cos dfdI 分 2 计算 其中是由曲面及平面所围成的有界 dxdydzz 22 yxz 4 z 闭区域 解 2 分 dxdydzz dzddz 4 分 42 0 2 0 2 dzzdd 6 2 0 5 16 d 分 7 3 64 分 3 证明曲线积分与路径无关 并计算积分值 2 3 322 1 1 2 3 xyy dxxxydy 解 32 2 23 P P x yxyyxy y 222 3 23 Q Q x yxxyxy x 高等数学试卷 B 卷 第 5 页 共 6 页 曲线积分与路径无关 3 分 PQ yx 7 分 3 2 1 1 46 42 xdxydy 2 1 原积分 2 五 解答下列各题 本大题满分 14 分 1 本题 6 分 判别级数是绝对收敛 条件收敛 还是发散 2 ln 1 n n n 解 记 则 又发散 n un ln 1 n un 1 2 1 n n 所以原级数不是绝对收敛 3 分 因 且 0lim n n u 1 nn uu 所以原级数条件收敛 6 分 2 本题 8 分 将函数展开成的幂级数 并求级数的和 xxfarctan x 0 12 3 1 n n n n 解 2 0 2 2 1 1 1 n nn x x xf1 x 分 x dxxffxf 0 0 4 分 0 12 0 0 2 12 1 1 n n n x n nn n x dxx1 x 因在点处连续 而在点处收敛 xf1 x 0 12 12 1 n n n n x 1 x 从而 5 0 12 12 1 n n n n x xf1 x 高等数学试卷 B 卷 第 6 页 共 6 页 分 于是 0 1 3 21 n n n n 6 12 03 1 12 1 3 n n n n 分 8 6 3 3 1 3 f 分 六 解答下列各题 本大题满分 14 分 1 本题 6 分 求微分方程的通解 cos yx y xx 解 通解为 3 cos 11 Cdxe x x ey dx x dx x 分 5 分 cos 1 Cxdx x 6 sin 1 Cx x 分 2 本题 8 分 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差 若室温为时 一物体由冷却到须经过分钟 问共经过多少c 0 20c 0 100c 0 6020 时间方可使此物体的温度从开始时的降低到 c 0 100c 0 30 解 设在时刻 物体的温度为 则有t tT 2 20 Tk dt dT 分 且 100 0 T60 20 T 高等数学试卷 B 卷 第 7 页 共 6 页 分离变量得 kdt T dT 20 积分得 CktTln 20ln 即 5 分 kt CeT 20 由得 6100 0 T80 C kt