专题八--与万有引力有关的问题

万有引力 1 专题一 万有引力相关问题 一 地球表面物体随地球自转 地球表面上的物体随地球自转 物体受到的重力 G 只是地球对 物体的万有引力 F 的一个分力 万有引力的另一个分力是使物体随 地球自转的向心力 fn 即 F G fn 由于 fn G 可以认为重力近似等于万有引力 即 mg R GMm 2 方向可以认为是竖直向下 重力 G 的平衡力是地面对物体的支持力 N 由于地球自转因素的影响 地球两极表面重力加速度 g 最大 赤道表面重力加速度 g 最 小 两者的差就是赤道处物体随地球自转的向心加速度 an 即 R 为地球半径 R T gg 2 2 T 为地球自转周期 二 重力加速度与物体离地面高度 h 或地面下深度 d 的关系 若忽略地球自转 设地球半径为 R 地球表面 A 处重力加速度为 g0 设地面上空高 h 的 B 处重力加速度为 g1 由 因此mg r GMm 22 1 r g 0 2 2 1 g hR R g 设地面下方深 h 的 C 处重力加速度为 g2 由于质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引 力为零 因此上图中 C 点以下白色部分地球对物体的引力就是该物体受到的重力 不同深度 处对应的引起重力的地球质量 因此 33 3 4 rrM r r GM g 2 得 02 g R dR g 综上所述 重力加速度 g 与离地心距离 r 的函数关系图线如右 联想 均匀带正电的实心球体 各处场强 E 与到球心距离 r 的图线与上图完全相同 但要注 意 如果是均匀带正电金属球 内部场强就处处为零了 图线 R 左侧为零 只有 R 右侧 才与上面图线相同 三 人造卫星和宇宙速度 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所受的万有引力就是向心力 也就是重力 即 F G fn 由此可推出二级公式 注意 r v t a 是一一 r GM v GM r T 3 2 2 r GM a 对应的 当 r R 时 对应的速度就是第一宇宙速度km s 9 7 1 gR R GM v F G fn N A B C h d O O g r R g0 万有引力 2 若给出了引力势能的表达式 r GMm Ep 则可推出第二宇宙速度 km s 2 112 2 12 v R GM v 联想 若某星球的第二宇宙速度大于光速 意味着任何物质都无法离开该星球 连光子都无 法射出 即外界无法观测到该星球 这就是黑洞 形成黑洞的条件是 c R GM v 2 2 人造卫星的变轨 分渐变和突变两类 渐变问题首先要分析是做离心运动还是做向心运动 即首先要判定轨道半径 r 的变化是增 大或减小 渐变过程的每一周仍可视为圆周运动 因此上述人造卫星的二级公式都能用 在分析渐变后能量变化时要注意 卫星的机械能可能不再守恒 动能 势能和机械能的变 化要分别用不同的方法判定 动能看速度大小的改变 势能看引力做功的正负 机械能看有无其它能参与转化 比如 由于稀薄空气阻力而变轨 卫星将做向心运动 r 减小 v 增大 动能增加 引力 做正功 势能减少 有摩擦生热 即有机械能转化为内能 因此机械能减少 又如 按某种假说 万有引力常量 G 在逐渐变小 引起太阳系中地球到太阳距离会发生 变化 这种变轨是离心运动 突变往往发生在需要改变卫星轨道高度的时候 比如由近地圆轨道卫星经过两次点火加速 变轨成为圆轨道同步卫星 或者航天器要从太空返回地球时 由较高圆轨道变轨回地球 需要 将发动机喷口改为向前 向前喷出燃气 使卫星减速 联想 与玻尔理论对照 卫星轨道的突变与电子在不同轨道间跃迁遵从同样的规律 四 双星问题 双星的最大特点有两个 由于向心力是由双星间万有引力 F 提供的 因此两星所受的向心力大小 F 一定相等 双星都绕空间同一个固定点做圆周运动 因此双星与该点总保持三点共线 在相同时间内 转过的角度必相等 即双星做匀速圆周运动的角速度 相等 周期 T 也相等 由 F mr 2 得 得 线速度 v r m r 1 L mm m rL mm m r 21 1 2 21 2 1 m r 1 列方程时特别注意 万有引力部分的表达式中的 r 应该是双星间的距离 往往用 L 表示 某一星球所需向心力的表达式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径 应分别记为 r1 r2 r1 r2 L 联想 如果是三星系统 则其中每颗星做圆周运动的向心力由另外两颗星对它的万有引力的 合力提供 五 利用万有引力定律可以求中心星球的质量和密度 设中心星球质量为 M 半径为 R 环绕星球质量为 m 线速度为 v 公转周期为 T 两星 球相距 r 根据万有引力定律 得 由 r T 可求出中心星球的质量 2 2 2 T mr r GMm 2 32 4 GT r M 万有引力 3 若将中心星球看做均匀球体 由 可得中心星球的平均密度 3 3 4 RM 32 3 3 RGT r 如果环绕星球离中心星球表面很近 满足 r R 那么中心星球的平均密度 2 3 GT 六 开普勒定律 1 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在椭圆的一个焦 点上 2 对任意一个行星 它与太阳连线在相等时间内扫过相等的面积 如右图 在远地点和近地点处 v r 1 3 所有行星轨道长半轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值 都相等 T 2 a3 万有引力练习题 1 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动 己知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离 那么 A 地球公转周期大于火星的公转周期 B 地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C 地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D 地球公转的角速度大于火星公转的角速度 2 假设地球可视为质量均匀分布的球体 已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g 在赤 道的大小为 g 地球自转的周期为 T 则地球的半径为 A B C D 2 2 0 4 gg T 2 0 2 4 gg T 2 0 2 4 g T 2 0 2 4 gg T 3 静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动 下列说法正确的是 A 物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B 物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C 物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D 物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 4 理论上已经证明 质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零 现假设地球是一半径为 R 质量分布均匀的实心球体 O 为球心 以 O 为原点建立坐标轴 Ox 如图甲所示 一个质量一定的小物体 假设它能够在地球内部移动 在 x 轴上各位置受到的引力大小用 F 表示 则图乙所示的四个 F 随 x 的变化关系图正确的是 r1 r2 v2 v1 Ox 甲 R 万有引力 4 5 木星绕太阳的公转 以及卫星绕木星的公转 均可以看做匀速圆周运动 已知万有引力常量 并且已经观测到木星和卫星的公转周期 要求得木星的质量 还需要测量的物理量是 A 太阳的质量 B 卫星的质量 C 木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D 卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半 径 6 18 分 万有引力定律揭示了天体运动规律与地球上物体运动规律具有内在一致性 1 用一弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量 随称量位置的变化可能会有不同 的结果 已知地球质量为 M 自转周期为 T 万有引力常量为 G 将地球视为半径为 R 质量 均匀分布的球体 不考虑空气的影响 设在地球北极地面称量时 弹簧秤的读数是 0 F a 若在北极上空高出地面 h 处称量 弹簧秤读数为 求比值的表达式 并就 1 F 01 F F 的情形算出具体数值 计算结果保留两位有效数字 Rh 0 1 b 若在赤道地面称量 弹簧秤的读数为 求比值的表达式 2 F 02 F F 2 设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r 太阳的半径为和地球的半径 R 三者均 S R 减小为现在的 而太阳和地球的密度均匀且不变 仅考虑太阳和地球间的相互作用 以 0 1 现实地球的 1 年为标准 计算 设想地球 的一年将变为多长 7 利用万有引力定律可以测量天体的质量 1 测地球的质量 英国物理学家卡文迪许 在实验室里巧妙地利用扭秤装置 比较精确地测量出了引力常量 的数值 他把自己的实验说成是 称量地球的质量 已知地球表面重力加速度为 g 地球半径为 R 引力常量为 G 若忽略地球自转的影响 求地球的质量 2 测 双星系统 的总质量 所谓 双星系统 是指在相互间引力的作用下 绕连线上某点 做 匀速圆周运动的两个星球 A 和 B 如图所示 已知 A B 间距离为 L A B 绕 O 点运动的周期均为 T 引力常量为 G 求 A B 的总质量 3 测月球的质量 A B O 万有引力 5 若忽略其它星球的影响 可以将月球和地球看成 双星系统 已知月球的公转周期为 T1 月球 地球球心间的距离为 L1 你还可以利用 1 2 中提供的信息 求月球的质量 8 万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一 利用它我们可以进行许多分析和预测 2016 年 3 月 8 日出现了 木星冲日 当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时 天文学称之为 木星冲日 木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速 圆周运动 木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的 5 倍 下列说法正确的是 A 木星运行的加速度比地球的大 B 木星运行的周期比地球的小 C 下一次的 木星冲日 时间肯定在 2017 年 D 下一次的 木星冲日 时间肯定在 2018 年 9 航天员王亚平曾经在天宫一号实验舱内进行了中国首次太空授课 通过几个趣味实验展示 了物体在完全失重状态下的一些物理现象 其中一个实验如图所示 将支架固定在桌面上 细绳一端系于支架上的 O 点 另一端拴着一颗钢质小球 现轻轻将绳拉直但 未绷紧 小球被拉至图中 a 点或 b 点 根据所学的物理知识判断出现的现象 是 A 在 a 点轻轻放手 小球将竖直下落 B 在 a 点沿垂直于绳子的方向轻推小球 小球将沿圆弧做往复摆动 C 在 b 点轻轻放手 小球将沿圆弧做往复摆动 D 在 b 点沿垂直于绳子的方向轻推小球 小球将做圆周运动 10 黑洞密度极大 质量极大 半径很小 以最快速度传播的光都不能逃离它的引力 因此我们 无法通过光学观测直接确定黑洞的存在 严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识 但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在 假定黑洞为一个质 量分布均匀的球形天体 我们知道 在牛顿体系中 当两个质量分别为 m1 m2的质点相 O a b 万有引力 6 距为 r 时也会具有势能 称之为引力势能 其大小为 r mm GE 21 p 规定无穷远处势能为 零 请你利用所学知识 推测质量为 M 的黑洞 之所以能够成为 黑 洞 其半径 R 最大不能超过多少 11 假定地球为密度均匀分布的球体 忽略地球的自转 已知地球的半径为 R 理论和实验证明 质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零 求 地面上方高 h 的山顶 A 处和地面处重力加速度大小之比 gA g0 a 地面下方深 h 的矿井底 B 处和地面处重力加速度大小之比 gB g0 b 若已知某单摆在地面处做简谐运动的周期与在某矿井底部做简谐运动的周期之比为 k 求该矿井底部离地面的深度 d 12 20 分 随着科学技术水平的不断进步 相信在不远的将来人类能够实现太空移民 为此 科学家设计了一个巨型环状管道式空间站 空间站绕地球 做匀速圆周运动 人们生活在空间站的环形管道中 管道 内部截面为圆形 直径可达几千米 如图 14 a 所示 已 知地球质量为 M 地球半径为 R 空间站总质量为 m G 为引力常量 空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为 2R 求空间 站在轨道上运行的线速度大小 为解决长期太空生活的失重问题 科学家设想让空间 站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转 使 在空间站中生活的人们获得 人工重力 该空间站的环 状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为 r1 r2 环 形管道壁厚度忽略不计 如图 14 b 所示 若要使人们 感受到的 人工重力 与在地球表面上受到的重力一样 不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太 空站自转时中心轴静止 则该空间站的自转周期应为 多大 为进行某项科学实验 空间站需将运行轨道进行调整 先从半径为 2R 的圆轨道上的 A 点 近地点 进行第一 次调速后进入椭圆轨道 当空间站经过椭圆轨道 B 点 远地点 时 再进行第二次调速后最终进入半径为 3R 的圆轨道上 若上述过程忽 略空间站质量变化及自转产生的影响 且每次调速持续的时间很短 请说明空间站在这两次调速过程中 速度大小是如何变化的 若以无穷远为引力势能零点 空间站与地球间的引力势能为 环形管道 r1 图 14 b r2 图 14 a A B 地球 图 14 c 万有引力 7 p Mm EG r 式中 r 表示空间站到地心的距离 求空间站为完成这一变轨过程至少需要消 耗多少能量 13 我国 北斗 卫星导航定位系统由 5 颗静止轨道卫星 赤道上空运行的同步卫星 和 30 颗非 静止轨道卫星组成 关于这 5 颗静止轨道卫星 下列说法中正确的是 A 卫星的运行周期各不相同 B 卫星的轨道半径各不相同 C 卫星的线速度小于 7 9 km s D 卫星的向心加速度大于 9 8m s2 14 我国 玉兔号 月球车被顺利送抵月球表面 并发回大量图片和信息 若该月球车在地球表 面的重力为 G1 在月球表面的重力为 G2 已知地球半径为 R1 月球半径为 R2 地球表面处的 重力加速度为 g 则 A 玉兔号 月球车在地球表面与月球表面质量之比为 1 2 G G B 地球的质量与月球的质量之比为 2 12 2 21 RG RG C 地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 2 1 G G D 地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 22 11 RG RG 万有引力 8 15 甲 乙两颗人造卫星绕地球作圆周运动 周期之比为 T1 T2 1 8 则它们的轨道半径 之 比和运动速率之比分别为 A R1 R2 1 4 v1 v2 2 1 B R1 R2 4 1 v1 v2 2 1 C R1 R2 1 4 v1 v2 1 2 D R1 R2 4 1 v1 v2 1 2 16 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分 嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中 心发射 首次实现月球软着陆和月面巡视勘察 嫦娥三号的部分飞行轨道示意图如图所示 假设嫦娥三号在圆轨道和椭圆轨道上运动时 只受 到月球的万有引力 下列说法中正确的是 A 嫦娥三号沿椭圆轨道从 P 点运动到 Q 点的过 程中 速度逐渐变小 B 嫦娥三号沿椭圆轨道从 P 点运动到 Q 点的过 程中 月球的引力对其做负功 C 若已知嫦娥三号在圆轨道上运行的半径 周期 和引力常量 则可计算出月球的密度 D 嫦娥三号在椭圆轨道经过 P 点时和在圆形轨 道经过 P 点时的加速度相等 17 关于万有引力定律的建立 下列说法中正确的是 A 卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平 方成反比的关系 B 月 地检验 表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的 60 倍 C 月 地检验 表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律 D 引力常量 G 的大小是牛顿根据大量实验数据得出的 18 牛顿在发现万有引力定律过程中曾做过一个有名的验证 月 地检验 假设维持月球绕 地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力 同样遵从 平方反比 的规律 那么 由于月球轨道半径约为地球半径 苹果到地心的距离 的 60 倍 月球公转的向心加速度 a1与苹果下落的加速度 g 的比将是多少 当时已经测定了地面附近的重力加速度约为 g 10m s2 月球绕地球的公转周期约为 T 27 天 约 2 3 106s 月球绕地球公转半径约 为 r 3 8 105km 根据以上三个数据 月球公转的向心加速度 a2与苹果下落的加速度 g 的比是多少 由以上两问的结果可以得出什么结论 19 人造卫星在绕地球运行时 会遇到稀薄大气的阻力 如果不进行必要的轨道维持 稀薄大 万有引力 9 气对卫星的这种微小阻力会导致卫星轨道半径逐渐减小 以至最终落回地球 这个过程是 非常漫长的 因此卫星每一圈的运动仍可以认为是匀速圆周运动 规定两质点相距无穷远 时的引力势能为零 理论上可以得出质量分别 m1 m2的两个物体相距 r 时 系统的引力 势能为 已知人造卫星的质量为 m 某时刻绕地球做匀速圆周运动的轨道半 r mGm Ep 21 径为 r 地球半径为 R 地球表面附近的重力加速度为 g 求此时刻卫星的瞬时速度大小 v 和卫星的机械能 E机 由于大气阻力的影响 卫星的轨道半径逐渐减小 求在这个过程中 万有引力做的功 WG与克服大气阻力做的功 Wf的比 已知地球半径为 6400km 当卫星轨道离地面的高度为 200km 时 由于大气阻力的影响 测得卫星每绕地球一周 轨道高度降低 20m 试估算在此高度大气对卫星的阻力大小 f 与卫星所受地球引力大小 F 的比值 k 答案保留 1 位有效数字 练习答案 1 D 2B 3B 4A 5D 6 1 设小物体质量为 m a 在北极地面 0 2 F R Mm G 在北极上空高出地面 h 处 1 2 F hR Mm G 得 2 2 0 1 hR R F F 98 0 01 1 1 2 0 1 F F b 在赤道地面 小物体随着地球自转做匀速圆周运动 受到万有引力和弹簧秤的作用力 有 R T mF R Mm G 2 2 2 2 4 解得 2 33 0 2 4 1 GMT R F F 万有引力 10 2 地球绕太阳做匀速圆周运动 受到太阳的万有引力 设太阳质量为 地球质 S M 量为 M 地球公转周期为 有 E T 2 2 2 4 E S T Mr r MM G 得 3 332 34 SS E GpR r GM