线性代数习题答案.doc

习题一2解：(5) 在排列1 3 (2n1) 2 4 (2n)中，1排在首位，逆序数为0；3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0；(2n1)的前面比(2n1)大的数不存在，故逆序数为0；2的前面比2大的数有(n1)个，即3 5(2n1)，故逆序数为(n1)；4的前面比4大的数有(n2)个，即5 7 (2n1)，故逆序数为(n2)；(2n2)的前面比(2n2)大的数由1个，即(2n1)，故逆序数为1；(2n)是最大数，故逆序数为0于是这个排列的逆序数为(6) 在排列1 3 (2n1) (2n) (2n2) 4 2中，1排在首位，逆序数为0；3的前面比3大的数不存在，故逆序数为0；(2n1)的前面比(2n1)大的数不存在，故逆序数为0；(2n)是最大数，故逆序数为0；(2n2)的前面比(2n2)大的数由2个，即(2n)和 (2n1)，故逆序数为2；4的前面比4大的数有2(n2)个，即5 6 (2n)，故逆序数为2(n2)；2的前面比2大的数有2(n1)个，即3 4(2n)，故逆序数为2(n1)于是这个排列的逆序数为4解：(1) (4)解法一：解法二：5解：(1) 故当或时，上述行列式等于零(2) 错误解法：根据行列式的性质2的推论可知，若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同于是或或错误原因：命题“若行列式等于零，则该行列式必有两行（列）完全相同”不一定成立例如当时，但该行列式并不存在完全相同的两行（列）解法一：这是4阶范德蒙行列式，于是因为互不相等，要使得上述行列式等于零，则必有或或解法二：显然当或或时，成立又因为是一个关于的3次多项式，故方程在复数范围内存在3个根（重根按重述计算），所以要使得这个4阶范德蒙行列式等于零，则必有或或6解：(4) 解法一：解法二：升阶法，构造5阶范德蒙行列式如果按照第五列展开，则有所求行列式就是的系数的相反数，即5阶范德蒙行列式中与元对应的余子式根据容易看出，的系数等于于是所求行列式的值等于解法三：逆向思维由可得因为同理，可得所以把行列式(*)按照第4行展开，可得(5) 利用数学归纳法当行列式的阶数时，假设当时，结论成立，即于是当时，把行列式按照最后一列展开，有8解：(1) 解法一：仿照课本P.15例11的做法把的第行与第2行对调，再把第列与第2列对调，得根据P.14例10的结论，有解法二：(2) 仿照课本P.12例8(3) 这不是范德蒙行列式，但是可以化为范德蒙行列式，从而利用课本P.18例12的结论解法一：把第行依次与第行、第行，第1行对调（作次相邻对换），把第行依次与第行、第行，第2行对调（作次相邻对换），把第行依次与第行、第行对调（作2次相邻对换），把第行与第行对调（作1次相邻对换），此时，把一个阶的行列式化为范德蒙行列式满足的一共有个，故其中必为偶数解法二：把第行依次与第行、第行，第1行对调（作次相邻对换），把第行依次与第行、第行，第2行对调（作次相邻对换），把第行依次与第行、第行对调（作2次相邻对换），把第行与第行对调（作1次相邻对换），接着，把第列依次与第列、第列，第1列对调（作次相邻对换），把第列依次与第列、第列，第2列对调（作次相邻对换），把第列依次与第列、第列对调（作2次相邻对换），把第列与第列对调（作1次相邻对换），此时，利用范德蒙行列式，有解法三：注意到这是一个阶的行列式若是奇数，则是偶数，通过，可得若是偶数，则是奇数，通过，可得综上所述，无论是奇数还是偶数，都成立解法四：以此作为递推公式，即得注意：不能把作为递推公式，因为我们尚未证明的值与的取值无关(4) 仿照课本P.11例15(