学而思-小升初专项训练--数论篇(1)-教师版

学而思 小升初专项训练 数论篇 1 教师版 名校真题 数论篇 1 05 年人大附中考题 有 个四位数满足下列条件 它的各位数字都是奇数 它的各位数字互不相同 它的每 个数字都能整除它本身 2 05 年 101 中学考题 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零 那么所得的三位数是原来的数的 9 倍 问 这个两位数 是 3 05 年首师附中考题 1 21 202 2121 505 212121 131313 212121 4 04 年人大附中考题 甲 乙 丙代表互不相同的 3 个正整数 并且满足 甲 甲 乙 乙 丙 135 那么甲最小 是 5 02 年人大附中考题 下列数不是八进制数的是 A 125 B 126 C 127 D 128 附答案 1 解 6 2 解 设原来数为 ab 这样后来的数为 a0b 把数字展开我们可得 100a b 9 10a b 所以我们可以知道 5a 4b 所以 a 4 b 5 所以原来的两位数为 45 3 解 周期性数字 每个数约分后为 1 21 2 21 5 21 13 21 1 4 解 题中要求丙与 135 的乘积为甲的平方数 而且是个偶数 乙 乙 这样我们 分解 135 5 3 3 3 所以丙最小应该是 2 2 5 3 所以甲最小是 2 3 3 5 90 5 解 八进制数是由除以 8 的余数得来的 不可能出现 8 所以答案是 D 小升 初专项训练 数论篇 基本公式 1 已知 b c a c 则 a b c 特别地 若 a b 1 则有 ab c 讲解练习 若 3a75b 能被 72 整除 问 a b 迎春杯试题 2 已知 c ab b c 1 则 c a 3 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积 即 n p11a p22a pkak 其中 p1 p2 b c d 那么从小到大的第 5 个就是 dacb 它是 5 的倍数 因此 b 0 或 5 注意到 b c d 所以 b 5 从大到小排列的第 2 个是 abdc 它是不能被 4 整除的偶数 所以 c 是偶数 c b 5 c 4 或 2 从小到大的第二十个是 adbc 第五个是 dacb 它们的差在 3000 4000 之间 所以 a d 4 因为 a b 所以 a 至少是 6 那么 d 最小是 2 所以 c 就只能是 4 而如果 d 2 那么 abdc 的 末 2 位是 24 它是 4 的倍数 和条件矛盾 因此 d 3 从而 a d 4 3 4 7 这 24 个四位数中最大的一个显然是 abcd 我们求得了 a 7 b 5 c 4 d 3 所以这 24 个四位数 中最大的一个是 7543 例 2 一个 5 位数 它的各个位数字和为 43 且能被 11 整除 求所有满足条 件的 5 位数 思路 现在我们有两个入手的选择 可以选择数字和 也可以选择被 11 整除 但我们发现被 11 整除性质 的运用要具体的数字 而现在没有 所以我们选择先从数字和入手 解 5 位数数字和最大的为 9 5 45 这样 43 的可能性只有 9 9 9 9 7 或 9 9 9 8 8 这样我们接着用 11 的整除特征 发现符合条件的有 99979 97999 98989 符合条件 例 3 由 1 3 4 5 7 8 这六个数字所组成的六位数中 能被 11 整除的最 大的数是多少 解 各位数字和为 1 3 4 5 7 8 28 所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大 首位必须是 8 第 2 位是 7 14 8 6 那么第 3 位一定是 5 第 5 位为 1 该数最大为 875413 拓展 一个三位数 它由 0 1 2 7 8 组成 且它能被 9 整除 问满足条件的总共有 几个 例 4 一个学校参加兴趣活动的学生不到 100 人 其中男同学人数超过总数的 4 7 女同学的人数超过总数的 2 5 问男女生各多少人 来源 06 年理工附入学测试题 解 男生超过总数的 4 7 就是说女生少个总数的 3 7 这样女生的范围在 2 5 3 7 之 间 同理可得男生在 4 7 3 5 之间 这样把分数扩大 我们可得女生人数在 28 70 30 70 之间 所以只能是 29 人 这样男生为 41 人 2 质数与合数 分解质因数 例 5 2005 684 375 最后 4 位都是 0 请问 里最小是几 解 先分析 1 2 3 4 10 的积的末尾共有多少个 0 由于分解出 2 的个数比 5 多 这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个 5 这个质因数 而能分解出 5 的一定是 5 的倍数 注意 5 的倍数能分解一个 5 25 的倍数分解出 2 个 5 125 的倍数能分解出 3 个 5 最终转化成 计数问题 如 5 的倍数有 10 5 2 个 2005 5 401 684 2 2 171 375 3 5 5 5 前三个数里有 2 个质因子 2 4 个质因子 5 要使得乘积的最后 4 位都是 0 应该有 4 个质因子 2 和 4 个质因子 5 还差 2 个质因子 因此 里最小是 4 拓展 2005 684 375 最后 4 位都是 0 且是 7 的倍数 问 里最小是 例 6 03 年 101 中学招生人数是一个平方数 04 年由于信息发布及时 04 年的招生人数比 03 年多了 101 人 也是一个平方数 问 04 年的招生人数 解 看见两个平方数 发现跟平方差相关 这样我们大胆的设 03 年的为 A2 04 年的 为 B2 从中我们发现 04 年的比 03 年多 101 人 这样我们可以列式子 B2 A2 101 此后思 路要很顺 因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开 所以 B2 A2 A B A B 101 可见右边的数也要分成 2 个数的积 还得考虑同奇偶性 但 101 是个质数 所以 101 只能分成 101 1 这样 A B 101 A B 1 所以 A 50 B 51 所以 04 年的招生人数为 51 51 2601 拓展 一个数加上 10 减去 10 都是平方数 问这个数为多少 清华附中测试题 5 约数和倍数 例 7 从一张长 2002 毫米 宽 847 毫米的长方形纸片上 剪下一个边长尽可 能大的正方形 如果剩下的部分不是正方形 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能 大的正方形 按照上面的过程不断的重复 最后剪得的正方形的边长是多少毫米 解 边长是 2002 和 847 的最大公约数 可用辗转相除法求得 2002 847 77 所以 最后剪得的正方形的边长是 77 毫米 辗转相除示例 2002 847 2 308 求 2 个数的最大公约数 就用大数除以小数 847 308 2 231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308 231 1 77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 231 77 3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 例 8 一根木棍长 100 米 现从左往右每 6 米画一根标记线 从右往左每 5 米 作一根标记线 请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米 解 100 能被 5 整除 所以每 5 米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的 这样 我们都以从左往右作 可见转化成讨论 5 6 的最小公倍数中的情况 画图可得有 2 根距离 为 4 米 所以 30 60 90 里各有 2 条 但发现最后 96 和 100 也是距离 4 米 所以总共 2 3 1 7 拓展 在一根长木棍上 有三种刻度线 第一种刻度线将木棍分成十等份 第二种将木棍 分成十二等份 第三种将木棍分成十五等份 如果沿每条刻度线将木棍锯断 那么木棍总共 被锯成多少段 例 9 1 2 3 4 2008 这 2008 个数的最小公倍数等与多少个 2 与一个奇数 的积 解 最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数 这样我们发现除 2 以外都是奇数 质因数 可见我们只要找需要多少个 2 所以只要看 1 2008 中 2 n 谁最大 可见 2 10 1024 所以为 10 个 2 例 10 有 15 位同学 每位同学都有编号 它们是 1 号到 15 号 1 号同学 写了一个自然数 2 号说 这个数能被 2 整除 3 号说 这个数能被 3 整除 依次 下去 每位同学都说 这个数能被他的编号数整除 1 号作了一一验证 只有编号相邻的 两位同学说得不对 其余同学都对 问 1 说得不对的两位同学 他们的编号是哪两个 连续自然数 2 如果告诉你 1 号写的数是五位数 请求出这个数 写出解题过程 解 1 首先可以断定编号是 2 3 4 5 6 7 号的同学说的一定都对 不然 其中 说的不对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对 这样就与 只有编号相邻的两位同学说 的不对 不符合 因此 这个数能被 2 3 4 5 6 7 都整除 其次利用整除性质可知 这个数也能被 2 5 3 4 2 7 都整除 即编号为 10 12 14 的同学说的也对 从而可以断定说的不对的编号只能是 8 和 9 2 这个数是 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 的公倍数 由于上述十二个数 的最小公倍数是 60060 因为 60060 是一个五位数 而十二个数的其他公倍数均不是五位数 所以 1 号同学写的数 就是 60060 6 数论的综合题型 例 11 某住宅区有 12 家住户 他们的门牌号分别是 1 2 12 他们的电 话号码依次是 12 个连续的六位自然数 并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除 已 知这些电话号码的首位数字都小于 6 并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除 问 这一家的电话号码是什么数 解 设第一户电话号是 x 1 第二户 x 2 第 12 户电话号 x 12 根据条件得 x i 是 i 的倍数 i 1 2 12 因此 x 是 1 2 12 的公倍数 1 2 12 27720 所以 x 27720m 27720m 9 是 13 的倍数 27720 除以 13 余数为 4 所以 4m 9 是 13 的倍数 m 1 14 27 第一家电话号码是 27720m 1 m 取 14 合适 因此第一家电话号码是 27720 14 1 388081 拓展 写出连续的 11 个自然数 要求第 1 个是 2 的倍数 第二个是 3 的倍数 第 11 个是 12 的倍数 例 12 有 15 位同学 每位同学都有编号 它们是 1 号到 15 号 1 号同学写了一个自然数 2 号说 这个数能被 2 整除 3 号说 这个数能被 3 整除 依次下去 每位同学都说 这个数能被他的编号数整除 1 号作了一一验证 只有编 号相邻的两位同学说得不对 其余同学都对 问 1 说得不对的两位同学 他们的编号 是哪两个连续自然数 2 如果告诉你 1 号写的数是五位数 请求出这个数 写出解 题过程 解 1 首先可以断定编号是 2 3 4 5 6 7 号的同学说的一定都对 不然 其中 说的不对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对 这样就与 只有编号相邻的两位同学说 的不对 不符合 因此 这个数能被 2 3 4 5 6 7 都整除 其次利用整除性质可知 这个数也能被 2 5 3 4 2 7 都整除 即编号为 10 12 14 的同学说的也对 从而可以断定说的不对的编号只能是 8 和 9 2 这个数是 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 的公倍数 由于上述十二个数 的最小公倍数是 60060 因为 60060 是一个五位数 而十二个数的其他公倍数均不是五位数 所以 1 号同学写的数 就是 60060 作业题 注 作业题 例题类型对照表 供参考 题 1 4 类型 1 题 2 6 类型 3 题 3 5 8 类型 2 题 7 类型 2 1 在 1 100 这 100 个自然数中 所有不能被 9 整除的数的和是多少 解 1 2 100 5050 9 18 27 99 9 1 2 11 495 随意 1 100 中所有不能被 9 整除的数的和是 5050 495 4555 2 某班学生不超过 60 人 在一次数学测验中 分数不低于 90 分的人数占 7 1 得 80 89 分的人 数占 2 1 得 70 79 分得人数占 3 1 那么得 70 分以下的有 人 解 有 7 1 2 1 3 1 说明总人数一定为 7 的倍数 2 的倍数 3 的倍数 故为 7 2 3 42 的倍数 又由于人数不超过 60 人 故这班的人数只能为 42 人 从而 70 分以下的有 42 3121711 1 人 3 自然数 N 是一个两位数 它是一个质数 而且 N 的个位数 字与十位数字都是质数 这样的自然数有 个 解 枚举法 23 37 53 73 有 4 个 4 三个自然数 其中每一个数都不能 被另外两个数整除 而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除 那么这样的三个自然 数的和的最小值是多少 解 这三个自然数最小是 6 10 15 分别是 2 3 2 5 3 5 和的最小值为 31 5 五个连续偶数之和是完全平方数 中间三个偶数之和 是立方数 即一个整数的三次方 这样一组数中的最大数的最小值是多少 解 设中间 一个数为 2x 那么 5 个数的和为 10 x m 2 中间 3 个数的和为 6x n 3 设 x 2 p 3 q 5 r 再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数 一个数是立方数等价于 他的各个质因子的幂都是 3 的倍数可以求得 p 5 q 2 r 3 X 36000 因此所求为 2x 4 72004 6 一个数减去 100 是一个平方数 减去 63 也是一个平 方数 问这个是多少 解 A2 B2 A