工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)PPT课件

主讲 张小向 工程矩阵理论 东南大学硕士研究生学位课程 第六章矩阵的广义逆 第一节广义逆及其性质第二节A 的求法第三节广义逆的一个应用 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 6 1广义逆及其性质 一 Penrose方程与MP 逆 定义6 1 1 Penrose方程 设A s n 若存在G n s满足 1 AGA A 2 GAG G 3 AG H AG 4 GA H GA 则称G为A的广义逆 或Moore Penrose逆 简称MP 逆 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 二 存在性与唯一性 定理6 1 1 设A s n 则A有唯一的广义逆 证明 存在性 根据定理4 2 6 奇值分解 存在酉矩阵U与V使得 1 r 0为AHA的特征值 则可直接验证G为A的广义逆 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 设X Y满足 1 AXA A AYA 2 XAX X YAY Y 3 AX H AX AY H AY 4 XA H XA YA H YA 则X XAX X AX H XXHAH XXH AYA H XXHAH AY H X AX H AY H XAXAY XAY XAYAY XA H YA HY YAXA HY YA HY YAY Y 唯一性 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 注 A的广义逆记为A 例1 1 若A为可逆阵 则A A 1 2 O OT 例2 1 2 A O A O 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 1100 例3 设A 求A 解 令B 1 1 则 BB B B 1 1 x y 1 1 B B H B B 由此可得x y 1 2 A B O 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 定理6 1 2 设A s n 则 1 A A 2 AH A H 3 AT A T 4 kA k A 三 A 的性质 其中k k 1 k 0 0 k 0 证明 根据Penrose方程直接验证 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 5 AH AHAA A AAH 6 AHA A AH AAH AH A 证明 5 AHAA AH AA H AA A H AH A AAH A A HAH AA A H AH 6 利用定理4 2 6 奇值分解 或根据Penrose方程直接验证 AHA A AH AHA AHAA A HAHA AHAA AA A AHAA AA HA AHAA A AHA 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 A AH AHA A AH A A HAHAA AH A AA AA AH A AA HAA AH A AA AH A AH AHA A AH H AH H A HAH AH H A AA HA A A HAHA A A H A AA A H A AA A A A AH AA H A H AHAA A H AHA A AH A AH AHA H AH AH H AH H A H AH AA H A H AHAA A H A A H A AA A A AA A H A AA HA A A HAHA A AH AHA A A 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 7 A AHA AH AH AAH 8 UAV VHA UH 其中U V为酉矩阵 9 A AB A AC AB AC 证明 7 AHA AH A AH AH A A HAH A AA A AA H A AH AAH AH AH A AH A HA 8 利用定理4 2 6 奇值分解 9 A AB A AC AB AA AB AA AC AC 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 证明 X R A 定理6 1 3 设A s n 则 1 AA X X X R A 0 X K AH Y ns t X AY AA X AA AY AY X X K AH AHX 0 AA X AA HX A HAHX 0 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 2 A AX X X R AH 0 X K A 证明 X R AH Y ss t X AHY A AX A AAHY X K A AX 0 A AX 0 A A HAHY AA A HY AHY X 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 3 R A R AA R AAH K I AA 证明 X R A Y ns t X AY X AA AY R AA 可见R A R AA X R AA Y ss t X AA Y X R A 可见R AA R A 综合上述两个方面可得R A R AA 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 又因为dimR AAH r AAH 可见R AAH R A X R AAH Y ss t X AAHY X R A 可见R AAH R A r A dimR A 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 X R A X AA X I AA X 0 X K I AA 可见R A K I AA X K I AA I AA X 0 X AA X R A 可见K I AA R A 综合上述两个方面可得R A K I AA 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 4 R A R A A R AH R AHA 证明 用A 替换 3 中的A得R A R A A R A A H K I A A K I A A 用AH替换 3 中的A得R AH R AH AH R AHA 同时有R AH AH R A A H R A A 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 5 R A R I AA K AA K AH 证明 对 3 中的每一项取正交补得 R A R AA K AA R I AA R A R AAH K AAH 在 2 2中已经得到 R A K AH 最后由K A K AA K A AA K A 可得K A K AA K A K AAH 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 6 R A R I A A K A A 证明 用A 替换 5 中的A得 R A R I A A K A A K A 又因为K A K AHA 而且dimK A n r A n r AHA dimK A A 故K A K AHA 在 2 2中已经得到 R AH K A K A K AHA R AH 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 定理6 1 4 AGX X X R A 0 X R A 设A s n G n s 则G A 的充要条件为 GAX X X R G 0 X R G 以及 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 证明 X R A Y ns t X AY AGX AGAY X R A K AH AGX AG HX GHAHX 0 这就证明了 AY X AGX X X R A 0 X R A GAX X X R G 0 X R G 类似地 可以证明 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 对于e1 1 0 0 T e2 0 1 0 T en 0 0 1 T 有Aei R A i 1 2 n 故AGA AGA e1 en AGAe1 AGAen Ae1 Aen A e1 en A 类似地 可以证明GAG G 下面证明AG为Hermite阵 即 AG H AG 第六章矩阵的广义逆 6 1广义逆及其性质 事实上 s R A R A 分别取R A 和 R A 的标准正交基X1 Xr和Xr 1 Xs 则 令P X1 Xs 则P 1 PH 类似地 可以证明GA为Hermite阵 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 6 2A 的求法 一 利用矩阵的满秩分解 定理6 2 1 设A s n r A r 1 若A BC为A的满秩分解 则A CH CCH 1 BHB 1BH 特别地 若r A n 则A AHA 1AH 若r A s 则A AH AAH 1 证明 直接代入Penrose方程加以验证 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 123246 例1 设A 求A 解 C 1 2 3 则A BC为A的满秩分解 BHB 5 BHB 1 1 5 CCH 14 CCH 1 1 14 A CH CCH 1 BHB 1BH 根据定理6 2 1可知 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 二 利用R AH 和K AH 的基 定理6 2 2 设A s n r A r 1 若X1 Xr为R AH 的一组基 Yr 1 Ys为K AH 的一组基 令B X1 Xr 0 0 n s C AX1 AXr Yr 1 Ys 则A BC 1 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 证明 根据定理6 1 3 5 和 2 可知 A Yj 0 j r 1 s A AXi Xi i 1 r 于是有A C A AX1 AXr Yr 1 Ys X1 Xr 0 0 n s B 注意到r AX1 AXr r A AX1 A AXr r X1 Xr r 可见AX1 AXr构成R A 的一组基 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 又因为s R A K AH 故AX1 AXr Yr 1 Ys构成s的一组基 因而C AX1 AXr Yr 1 Ys 可逆 于是由A C B得A BC 1 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 例2 设A 求A 解 B X1 X2 AH 112213 为R AH 的一组基 K AH 0 取法不唯一 第六章矩阵的广义逆 6 2A 的求法 例3 设M 其中A 解 AOOB 112213 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 6 3广义逆的一个应用 一 最小二乘解的概念 定义6 3 1 设A s n b s 若X0 n满足 则称X X0为方程组AX b的最小二乘解 AX0 b 2 min AX b 2 X n AX b的最小二乘解中 长度最小的叫做极小最小二乘解 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 二 正规方程 r AHA r A r AH r AH A b r AH r AHA AHb r AHA AHb r AHA r AHA r AHA AHb r AHA AHAx AHb有解 Ax b的正规方程 定理6 3 1 设A s n b s 则TFAE 1 X0是AX b的最小二乘解 2 AX0 b R A 3 AHAX0 AHb 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 证明 所以b可以唯一地分解为 因为s R A R A b AY0 b AY0 其中AY0 R A b AY0 R A 于是对于任意的X n 有 由此可见 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 1 X0是AX b的最小二乘解 AX0 b 2 AY0 b 2 AX0 AY0 2 0 AX0 AY0 2 AX0 b AY0 b R A 2 AX0 b R A AX0 AY0 1 X0是AX b的最小二乘解 2 AX0 b R A AX0 b K AH AH AX0 b 0 3 AHAX0 AHb 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 三 最小二乘解的表达式 定理6 3 2 设A s n 则AX b的最小二乘解的通式为 X A b I A A Y Y n 其中X A b是AX b的唯一的极小最小二乘解 b s 第六章矩阵的广义逆 6 3广义逆的一个应用 2 根据定理6 1 3 6 故 I A A Y Y n K AHA R I A A 所以AX b的最小二乘解的通式为 X A b I A A Y Y n 证明 1 A b是AHAx AHb的解 事实上 根据定理6 1 2 5 AHAA AH 故AHAA b AHb 是AHAx 0的通解 第六章矩