概率统计作业-第一章(参考解答)

概率论与数理统计概率论与数理统计 第一章作业第一章作业 一 一批产品中有合格品也有废品 从中有放回地抽取三件产品 以一 一批产品中有合格品也有废品 从中有放回地抽取三件产品 以表示第表示第 次抽到废品 次抽到废品 i A 1 2 3 i i 试用试用的运算表示下列事件 的运算表示下列事件 i A 1 第一次和第二次至少抽到一次废品 第一次和第二次至少抽到一次废品 2 只有第一次抽到废品 只有第一次抽到废品 3 只有一次抽到废品 只有一次抽到废品 4 至少有一次抽到废品 至少有一次抽到废品 5 三次都抽到废品 三次都抽到废品 6 只有两次抽到废品 只有两次抽到废品 解答 解答 1 2 3 12 AA 123 A A A 123123123 A A AA A AA A A 4 5 6 123 AAA 123 A A A 123123123 A A AA A AA A A 二 计算下列各题 二 计算下列各题 1 已知 已知 求 求 0 7P A 0 4P AB P AB 解 解 由 得 0 4 P ABP AP AB 0 70 40 3P ABP AP AB 所以 1 1 0 30 7P ABP AB 2 已知 已知 求 求 1 3P A 1 4P B A 1 6P A B P AB 解 解 111 3412 P ABP A P B A 又因为 得 11 126 P ABP B P A BP B 1 2 P B 所以 1113 32124 P ABP AP BP AB 3 已知 求 1 3P AP B 1 6P A B P A B 解 因为解 因为 P ABP B P A B 111 3618 1 1 1 1 P ABP ABP AP BP AB P A B P BP BP B 111 1 7 3318 1 12 1 3 4 设三个事件 设三个事件 相互独立 且相互独立 且 求 求 1 A 2 A 3 A 2 3 i P A 1 2 3i 1 至少发生一个的概率 1 A 2 A 3 A 解 解 123123123123 1 1 1 P AAAP AAAP A A AP A P A P A 22226 1 1 1 1 33327 2 恰好发生一个的概率 1 A 2 A 3 A 解 解 123123123 P A A AA A AA A A 123123123 P A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 2111211122 3333333339 3 最多发生一个的概率 1 A 2 A 3 A 解 解 123123123123 P A A AA A AA A AA A A 123123123123 P A A AA A AA A AP A A A 123 2 9 P A P A P A 3 217 9327 5 假设 假设 在以下情况下求 在以下情况下求 0 4P A 0 9P AB P B 1 互不相容 互不相容 A B 解 解 因为互不相容 所以 所以 故 A BAB 0P AB 0 90 40 5P BP ABP A 2 相互独立 相互独立 A B 解 解 因为相互独立 所以 A B P ABP A P B 故有 P ABP AP BP ABP AP BP A P B 1 P AP BP A 所以 0 90 45 1 1 0 46 P ABP A P B P A 3 AB 解 解 因为 所以 故 AB ABB 0 9P BP AB 另解 另解 因为 所以 AB P ABP A 故有 P ABP AP BP ABP AP BP A P B 即 0 9P BP AB 三 将三 将个质点随机地放入个质点随机地放入个盒子中 假设每个盒子容量无限 求下列事件的概率 个盒子中 假设每个盒子容量无限 求下列事件的概率 nN Nn 1 某指定的 某指定的个盒子中各有一个质点 个盒子中各有一个质点 n 2 恰有 恰有个盒子中各有一个质点 个盒子中各有一个质点 n 3 某指定的盒子中恰有 某指定的盒子中恰有个质点 个质点 m mn 解 解 1 设 A 某指定的个盒子中各有一个质点 个质点随机地放入个盒子共有种放法 nnN Nn n N 而某指定的个盒子中各有一个质点共有种放法 所以由古典概型知 n n n n P A N 2 设 B 恰有个盒子中各有一个质点 个质点随机地放入个盒子共有种放法 恰有nnN Nn n N 个盒子中各有一个质点分为两步 第一步 由于个盒子没有指定 故从个盒子中任取个盒子共nnNn 有种取法 第二步 对每种盒子的取法均有种放法 故恰有个盒子中各有一个质点共有种 n N C nn n N C n 放法 所以由古典概型知 n N n C n P B N 3 设 C 某指定的盒子中恰有个质点 个质点随机地放入个盒子共有种放法 某mnN Nn n N 指定的盒子中恰有个质点分两步 第一步 从个质点中任取个放入指定的盒子 共有种放法 mnm m n C 第二步 把个质点随机放入另外 除指定的盒子以外 的个盒子 共有种放法 nm 1N 1 n mN 所以某指定的盒子中恰有个质点共有种放法 所以由古典概型知 m m n C 1 n mN 1 11 1 mn m mn m m n n n CN P CC NNN 四 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的 如四 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的 如 果甲船的停泊时间是一小时 乙船的停泊时间是两小时 求一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不果甲船的停泊时间是一小时 乙船的停泊时间是两小时 求一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不 需要等候码头空出的概率 需要等候码头空出的概率 解 解 设一昼夜内甲船到码头的时刻为 乙船到码头的时刻为 单位 小时 则样本空间为 xy 024 024 x yxy 记 一昼夜内甲乙两艘船到码头时任何一艘都不需要等候码头空出 则A 1 2 12 Ax yyxxyx yyxyx 或或 如图 由几何概型知 22 2 1 2322 1013 2 0 8793 241152 A S P A S 五 某人到上海参加会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机去的概率分别为五 某人到上海参加会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机去的概率分别为 0 2 0 1 0 3 和和 0 4 如果他乘火 如果他乘火 车 轮船 汽车前去 迟到的概率分别为车 轮船 汽车前去 迟到的概率分别为 1 3 1 12 和和 1 4 如果他乘飞机去就不会迟到 求 如果他乘飞机去就不会迟到 求 1 这个人去开会迟到的概率 这个人去开会迟到的概率 2 如果他迟到了 则他是乘轮船去的概率 如果他迟到了 则他是乘轮船去的概率 解 解 设 这个人去开会迟到 这个人乘火车去开会 这个人乘轮船去开会 这个人B 1 A 2 A 3 A 乘汽车去开会 这个人乘飞机去开会 4 A 已知 1 0 2P A 2 0 1P A 3 0 3P A 4 0 4P A 所以有 1 1 3P B A 2 1 12P B A 3 1 4P B A 4 0P B A 1 4 1 kk k P BP A P B A 0 2 1 30 1 1 120 3 1 40 4 0 3 20 2 22 24 1 0 1 1 121 3 2018 kk k P A P B A P AB P A P B A 六 经验表明 预定餐厅座位而不来就餐的顾客比率为六 经验表明 预定餐厅座位而不来就餐的顾客比率为 20 如今餐厅有 如今餐厅有 50 个座位 但预定给了个座位 但预定给了 52 位位 顾客 问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少 顾客 问到时顾客来到餐