2013-中考专题复习之-动态存在性问题(历年中考压轴题精选)

第 1 页 共 10 页 动态几何动态几何 存在性问题探讨存在性问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题 动态包括点动 线动和面动三大类 解这类题目要 以静以静 制动制动 即把动态问题 变为静态问题来解 而静态问题又是动态问题的特殊情况 常见的题型包括最值最值 问题问题 面积问题面积问题 和差问题和差问题 定值问题定值问题和存在性问题存在性问题等 涉及的数学思想数学思想有 分类思想 分类思想 函数思想函数思想 方程方程 思想思想 数形结合思想数形结合思想 转化思想转化思想 一 三角形 和差最值 存在性问题一 三角形 和差最值 存在性问题 例例 1 1 2012 广西广西 10 分 分 如图所示 抛物线 a 0 的顶点坐标为点 A 2 3 且抛cbxaxy 2 物线与 y 轴交于点 B 0 2 cbxaxy 2 1 求该抛物线的解析式 2 是否是否在 x 轴上存在存在点 P 使 PAB 为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明 理由 3 若点 P 是 x 轴上任意一点 则当 PA PB 最大最大时 求点 P 的坐标 解 1 抛物线的顶点坐标为A 2 3 可设抛物线的解析式为 由题意得 2 ya x2 3 解得 物线的解析式为 即 2 a 02 32 1 a 4 2 1 y x2 3 4 2 1 yxx2 4 2 设存在符合条件的点P 其坐标为 p 0 则PA PB AB 222 2p 3 222 p2 2 22 32 25 当PA PB时 解得 22 2p 3 22 p2 9 p 4 当PA AB时 5 方程无实数解 22 2p 3 当PB AB时 5 解得 22 p2 p1 x轴上存在符合条件的点P 其坐标为 0 或 1 0 或 1 0 9 4 3 PA PB AB 当A B P三点共线时 可得PA PB的最大值 这个最大值等于AB 此时点 P是直线AB与x轴的交点 设直线AB的解析式为 y kx b 则 解得 直线AB的解析式为 b2 2kb3 1 k 2 b2 1 yx2 2 当 0 时 解得 当PA PB最大时 点P的坐标是 4 0 1 yx2 2 x4 二 正方形存在性问题二 正方形存在性问题 例例 2 2 2012 内蒙古内蒙古 12 分 分 如图 在平面直角坐标系中 将一个正方形 ABCD 放在第一象限斜靠在两坐 标 轴上 且点 A 0 2 点 B 1 0 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 C 1 求点 C 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否存在点 P 与点 Q 点 C D 除外 使四边形 ABPQ 为正 方形 若存在求出点 P Q 两点坐标 若不存在说明理由 解 1 作CE x轴于点E 四边形ABCD为正方形 AB BC ABO CBE 90 第 2 页 共 10 页 OAB OBA 90 OAB EBC Rt AOB Rt CEA AAS A 0 2 点B 1 0 AO 2 BO 1 OE 2 1 3 CE 1 C点坐标为 3 1 2 抛物线经过点C 1 a 32 a 3 2 解得a 1 2 抛物线的解析式为y x2 x 2 1 2 1 2 3 在抛物线上存在点P Q 使四边形ABPQ是正方形 理由如下 以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ 过P作PE OA于E QG x轴 于G 可证 PEA BQG BAO PE BG AO 2 AE QG BO 1 P点坐标为 2 1 Q点坐标为 1 1 由 1 抛物线y x2 x 2 当x 2 时 y 1 当x 1 时 y 1 P Q在抛物 1 2 1 2 线上 在抛物线上存在点P 2 1 Q 1 1 使四边形ABPQ是正方形 三 全等 相似三角形存在性问题三 全等 相似三角形存在性问题 例例 3 3 20122012 宁德宁德 1313 分 分 如图 矩形OBCD的边OD OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上 且 OD 10 OB 8 将矩形的边BC绕点B逆时针旋转 使点C恰好与x轴上的点A重合 1 直接写出点A B的坐标 A B 2 若抛物线y x2 bx c经过点A B 则这条抛物线的解析式是 1 3 3 若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点 作MN x轴于点N 问是否存在点M 使 AMN与 ACD相似 若存在 求出点M的坐标 若不存在 说明理由 解 1 6 0 0 8 2 2 110 yx x8 33 3 存在 设M 则N m 0 MN NA 6 m 又DA 2 110 mm m8 33 2 110 m m8 33 4 CD 8 若点M在点N上方 则 AMN ACD 即 MNNA CDDA 2 110 m m8 6m 33 84 解得m 6 或m 10 2 m16m 60 0 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符 此时不存在点M 使 AMN与 ACD相似 若点M在点N上方 则 AMN ACD 即 MNNA DACD 2 110 m m8 6m 33 48 解得m 6 或m 当m 时符合条件 此时存在点M 使 2 2m23m 66 0 2 11 2 11 2 11 4 1 AMN与 ACD相似 若点M在点N下方 则 AMN ACD 即 MNNA CDDA 2 110 mm 8 6m 33 84 解得m 2 或m 6 与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符 此时不存 2 m4m12 0 在点M 使 AMN与 ACD相似 若点M在点N下方 则 AMN ACD 即 MNNA DACD 2 110 mm 8 6m 33 48 第 3 页 共 10 页 解得m 或m 6 当m 时符合条件 此时存在点M 使 AMN 2 2m17m 30 0 5 2 5 2 5 2 7 4 与 ACD相似 综上所述 存在点M 或M 使 AMN与 ACD相似 5 2 7 4 2 11 4 1 四 相似问题 面积最值问题四 相似问题 面积最值问题 例例 4 4 20122012 广东 广东 如图 抛物线 y x2 x 9 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 连接 BC AC 1 求 AB 和 OC 的长 2 点 E 从点 A 出发 沿 x 轴向点 B 运动 点 E 与点 A B 不重合 过点 E 作直线 l 平行 BC 交 AC 于点 D 设 AE 的长为 m ADE 的面积为 s 求 s 关于 m 的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 3 在 2 的条件下 连接 CE 求 CDE 面积的最大值 此时 求出以点 E为圆心 与 BC 相切的圆 的面积 结果保留 解 1 已知 抛物线 y x2 x 9 当 x 0 时 y 9 则 C 0 9 当 y 0 时 x2 x 9 0 得 x1 3 x2 6 则 A 3 0 B 6 0 AB 9 OC 9 2 ED BC AED ABC 2 即 2 得 s m2 0 m 9 3 S AEC AE OC m S AED s m2 则 S EDC S AEC S AED m2 m m 2 CDE 的最大面积为 此时 AE m BE AB AE 过 E 作 EF BC 于 F 则 Rt BEF Rt BCO 得 即 EF 以 E 点为圆心 与 BC 相切的圆的面积 S E EF2 例例 5 2012 三明三明 12 分 分 已知直线 y 2x 5 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B 抛物线 y x2 bx c 的顶点 M 在直线 AB 上 且抛物线与直线 AB 的另一个交点为 N 1 如图 当点 M 与点 A 重合时 求 第 4 页 共 10 页 抛物线的解析式 点 N 的坐标和线段 MN 的长 2 抛物线 y x2 bx c 在直线 AB 上平移 是否存在点 M 使得 OMN 与 AOB 相似 若存在 直接 写出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 直线 y 2x 5 与 x 轴和 y 轴交于点 A 和点 B B 0 5 解法一 当顶点 M 与点 A 重合时 抛物线的解析式是 即 解法二 当顶点 M 与点 A 重合时 b 5 又 抛物线的解析式是 N 在直线 y 2x 5 上 设 N a 2a 5 又 N 在抛物线上 解得 舍去 过 N 作 NC x 轴 垂足为 C 第 5 页 共 10 页 NC 4 2 B 0 5 OA OB 5 直线 AB 的解析式是 y 2x 5 则 OB 2OA AB 2 当 OM AB 时 直线 AB 的解析式是 y x 解方程组 解得 则 M 的坐标是 2 1 当 ON AB 时 N 的坐标是 2 1 设 M 的坐标是 m 2m 5 则 m 2 MN 2 m 2 2 2m 5 1 2 2 2解得 m 4 则 M 的坐标是 M 4 3 故 M 的坐标是 2 1 或 4 3 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式 注意到 MN 是 AB 边上的高的二倍 当 OM AB 或 ON AB 时 两个三角形相似是解题的关键 五 平行四边形存在性问题五 平行四边形存在性问题 例例 5 5 2012 贵州 贵州 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 OABC 的边长 OA OC 分别为 12cm 6cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A B 且 18a c 0 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm s 的速度向终点 B 移动 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm s 的速度向终点 C 移动 移动开始后第 t 秒时 设 PBQ 的面积为 S 试写出 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取得最大值时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 第 6 页 共 10 页 解 1 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 由题意知点 A 0 12 所以 c 12 又 18a c 0 AB OC 且 AB 6 抛物线的对称轴是 b 4 所以抛物线的解析式为 2 0 t 6 当 t 3 时 S 取最大值为 9 这时点 P 的坐标 3 12 点 Q 坐标 6 6 若以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 有如下三种情况 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 下方时 点 R 的坐标 3 18 将 3 18 代入抛物线的解析式 中 满足解析式 所以存在 点 R 的坐标就是 3 18 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 3 6 将 3 6 代入抛物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 当点 R 在 BQ 的右边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 9 6 将 9 6 代入抛物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 综上所述 点 R 坐标为 3 18 六 定值问题六 定值问题 23 14 分 2012 三明 在正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 点 P 在线段 BC 上 不含点 B BPE ACB PE 交 BO 于点 E 过点 B 作 BF PE 垂足为 F 交 AC 于点 G 1 当点 P 与点 C 重合时 如图 1 求证 BOG POE 2 通过观察 测量 猜想 并结合图 2 证明你的猜想 第 7 页 共 10 页 3 把正方形 ABCD 改为菱形 其他条件不变 如图 3 若 ACB 求的值 用含 的式子表示 考点 相似形综合题 328789 分析 1 由四边形 ABCD 是正方形 P 与 C 重合 易证得 OB OP BOC BOG 90 由同角的余 角相等 证得 GBO EPO 则可利用 ASA 证得 BOG POE 2 首先过 P 作 PM AC 交 BG 于 M 交 BO 于 N 易证得 BMN PEN ASA BPF MPF ASA 即可得 BM PE BF BM 则可求得的值 3 首先过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M 交 BO 于点 N 由 2 同理可得 BF BM MBN EPN 继而可证得 BMN PEN 然后由相似三角形的对应边成比例 求 得的值 解答 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 P 与 C 重合 OB OP BOC BOG 90 PF BG PFB 90 GBO 90 BGO EPO 90 BGO GBO EPO 在 BOG 和 POE 中 BOG POE ASA 2 解 猜想 证明 如图 2 过 P 作 PM AC 交 BG 于 M 交 BO 于 N PNE BOC 90 BPN OCB OBC OCB 45 NBP NPB NB NP MBN 90 BMN NPE 90 BMN MBN NPE 在 BMN 和 PEN 中 第 8 页 共 10 页 BMN PEN ASA BM PE BPE ACB BPN ACB BPF MPF PF BM BFP MFP 90 在 BPF 和 MPF 中 BPF MPF ASA BF MF 即 BF BM BF PE 即 3 解法一 如图 3 过 P 作 PM AC 交 BG 于点 M 交 BO 于点 N BPN ACB PNE BOC 90 由 2 同理可得