“图形的认识”部分之“新”变化与思考

图形的认识图形的认识 之之 新新 变化与思考变化与思考 一 图形与几何 领域 2011 版课标公布了 新课标修订后 图形与几何 这个领域有哪些变化 图形与 几何这一领域原称空间与图形 修订后改为 图形与几何 更突出体现了几何学的本质 以图形作为重要的研究对象 以空间形式作为分析和探讨的核心 新课标在图形与几何领域有几个核心概念 主要有 空间观念 几何直观 推理能力 等 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形 根据几何图形想象出所描述的实际 物体 想象出物体的方位和相互之间的位置关系 描述图形的运动和变化 依据语言的描 述画出图形等 更直观的理解如下图 几何直观几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题 借助几何直观可以把复杂的数学问题 变得简明形象 有助于探索解决问题的思路 预测结果 探索思路预测结果 几何直观可 以帮助学生直观地理解数学 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用 案例 案例 打打电话电话 如果你是老师 有件紧急的事情要通知给同学 用打电话的方式 每分钟通知 1 人 给 你 3 分钟的时间 能使多少人收到通知 大胆的猜测一下 下面是学生借助图形研究的例子 这些学生都能够利用线段 点以图形的形式 来描述 打电话来通知这件事情 设计方案 通过这个数图就把这个复杂的数量关系 很简明很直观的呈现出来 而且从这个图本 身 就能发现一些规律 就是一分钟通知一个人 第二次通知的新的人数 就是第一次的两 倍 否则你算是算不出来 看图就看出来了 上图通过线段 点 以及图形 把通知过程很简捷的表现出来 把它们之间的关系 揭示 得非常清楚 这就属于典型的几何直观 就是图形直观 我们平时解题过程中所画的线段图 示意图等也是几何直观 推理能力推理能力 的发展应贯穿于整个数学学习过程中 推理是数学的基本思维方式 也是 人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一般包括合情推理和演绎推理 合情推理是 从已有的事实出发 凭借经验和直觉 通过归纳和类比等推断某些结果 演绎推理是从已 有的事实 包括定义 公理 定理等 和确定的规则 包括运算的定义 法则 顺序等 出发 按照逻辑推理的法则证明和计算 在解决问题的过程中 两种推理功能不同 相辅 相成 合情推理用于探索思路 发现结论 演绎推理用于证明结论 图形与几何 领域第一 二学段仍分为四部分 具体表示有所变动 图形的认识 测量 图形的运动 修改稿 图形与变换 图形与位置 二 图形的认识图形的认识 抽象图形特征 发展空间观念抽象图形特征 发展空间观念 问题一 新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化 有哪些新的要求呢 问题一 新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化 有哪些新的要求呢 1 这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容 有什么新的变化 课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比 修订前 修订后 第 一 学 段 1 通过实物和模型辨认长方体 正方体 圆 柱和球等 立体图形 2 辨认从正面 侧面 上面观察到的简单 物体的形状 参见例 1 3 辨认长方形 正方形 三角形 平行四边 形 圆等简单图形 4 通过观察 操作 能用自己的语言描述 长方形 正方形的特征 5 会用长方形 正方形 三角形 平行四边 形或圆拼图 6 结合生活情境认识角 会辨认直角 锐角 和钝角 7 能对简单几何体和图形进行分类 1 能通过实物和模型辨认长方体 正方体 圆柱和球等 几何体 2 能根据具体事物 照片或直观图辨认从 不同角度观察到的简单物体 参见例 11 3 能辨认长方形 正方形 三角形 平行 四边形 圆等简单图形 4 通过观察 操作 初步认识 长方形 正方形的特征 5 会用长方形 正方形 三角形 平行四 边形或圆拼图 6 结合生活情境认识角 了解直角 锐角 和钝角 7 能对简单几何体和图形进行分类 参见 例 20 第 二 学 段 1 了解两点确定一条直线和两条相交直线 确定一个点 2 能区分直线 线段和射线 3 体会两点间所有连线中线段最短 知道两 点间的距离 4 知道周角 平角的概念及周角 平角 钝 角 直角 锐角之间的大小关系 5 结合生活情境了解平面上两条直线的平行 和相交 包括垂直 关系 6 通过观察 操作 认识平行四边形 梯形 和圆 会用圆规画圆 7 认识三角形 通过观察 操作 了解三角 形两边之和大于第三边 三角形内角和是 180 8 认识等腰三角形 等边三角形 直角三角 形 锐角三角形 钝角三角形 9 通过观察 操作 认识长方体 正方体 圆柱和圆锥 认识长方体 正方体和圆柱的 展开 图 10 能辨认 从不同方位看到的物体的形状和 相对位置 参见例 1 1 结合实例了解线段 射线和直线 2 体会两点间所有连线中线段最短 知道 两点间的距离 3 知道平角与周角 了解周角 平角 钝 角 直角 锐角之间的大小关系 4 结合生活情境了解平面上两条直线的平 行和相交 包括垂直 关系 5 通过观察 操作 认识平行四边形 梯 形和圆 知道扇形 会用圆规画圆 6 认识三角形 通过观察 操作 了解三 角形两边之和大于第三边 三角形内角和是 180 7 认识等腰三角形 等边三角形 直角三 角形 锐角三角形 钝角三角形 8 能辨认 从不同方向 前面 侧面 上 面 看到的物体的形状图 参见例 32 9 通过观察 操作 认识长方体 正方体 圆柱和圆锥 认识长方体 正方体和圆柱的展 开图 从这个表中可以看到 课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化 第二 学段的内容标准删除 两点确定一条直线 和 两条直线确定一个点 图形与几何 领域 将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间 强调空间和图形知 识的现实背景 从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界 新 标准 突出用观察 描 述 制作 从不同的角度观察物体 认识方向 制作模型等活动 发展学生的空间观念和 图形设计与推理 合情推理与演绎推理 的能力 新 标准 在第二学段还增加了知道扇形这一内容 认识扇形在 课标修改稿 中确 实没有做要求 但在 统计与概率 部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内 容标准 考虑到知识的系统性 逻辑性和连贯性 以及学生认识扇形统计图的需要 课 标修订稿 在认识圆的基础上 增加了初步认识扇形 2 这次新课标修订后对 图形的认识 部分有什么新的要求 对图形认识的要求主要包括两个方面 一是对图形自身特征的认识 二是对图形各 元素之间 图形与图形之间关系的认识 图形自身特征的认识 在三个学段中 认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性 从 辨认 到 初 步认识 再从 认识 到 探索并证明 如 对于平行四边形 第一学段要求 能辨 认 第二学段要求 认识 第三学段要求 理解概念 探索并证明平行四边形的性质 定理 判定定理 等 案例 三角形内角和案例 三角形内角和 再如 关于 视图 第一学段要求 能根据具体事物 照片或直观图辨认从不同角度 观察到的简单物体 第二学段要求 能辨认从不同方向 前面 侧面 上面 看到的物体 的形状图 第三学段要求 会画直棱柱 圆柱 圆锥 球的主视图 左视图 俯视图 能 判断简单物体的视图 会根据视图描述简单的几何体 这种要求的层次性 既体现了从整体到局部的认识过程 也符合学生的认知特点 逐 渐深入 循序渐进 图形的各元素之间 图形与图形之间的关系的认识 点与直线的位置关系 直线与直线的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置 关系等 是义务教育阶段几种主要的图形位置关系 轴对称 中心对称 平移也反映了图 形与图形之间的位置关系 图形的全等 相似都是研究图形之间关系的课程内容 全等研究的是图形的形状 大小关系 图形的相似研究的是图形的形状之间的关系 而图形的位似则还涉及到了图形 的位置关系 学生的图形认知水平主要分为五级 水平 1 直观化 水平 2 描述 分析 小学 水平 3 抽象 关联 水平 4 演绎 形式化推理 中学 水平 5 严密 元数学 问题二 小学阶段 对于图形的认识 教材是遵循了怎么样的一个编排体系 问题二 小学阶段 对于图形的认识 教材是遵循了怎么样的一个编排体系 1 1 知识结构图知识结构图 2 为什么按认 立体 平面 立体 的方式认识图形 原因 1 高年级孩子 对几何立体图形 本身的识图的能力比较低 这是个难点 要 想分散难点 图形的认识图形的认识 知识网络结构图知识网络结构图 第 一 学 段 第 二 学 段 三维立体 图形 初步认识长方体 初步认识正方体 初步认识圆柱 初步认识球 长方体的再认识 正方体的再认识 圆柱的再认识 圆锥的认识 长方体与圆柱的展 开图 一维立体图 形 边 顶点 了解线 线段 射线 直 线 端点 顶点 棱 二维立体图 形 初步认识长方形 初步认识正方形 初步认识三角形 初步认识平行四边形 初步认识圆 了解角 直角 锐角 钝 角 了解两条线之间的关系 平行 相交 知道角 平角 圆周角 三角形的再认识 平行四边形的再认识 梯形的再认识 圆的再认识 面 原因 2 人生活在三维空间当中 一个婴儿从出生 他所有接触的东西 看到的东西 实际上都是体 积累接触了很多立体 因此所有的几何的体 都具有直观的实物的模型的 低年级孩子 刚开始初步的认识立体图形是有可能的 3 标准 关于 图形的认识 的编排体系 可以体现如下几个编排思路 第一 遵循儿童的认知规律 认识图形由过去的二维图形到三维图形调整为先认识三 维图形再认识二维图形 在认识二维图形的过程中 顺势介绍点 线 直线 射线 线段 棱等图形的概念 第二 从纵向来看 图形的认识基本上都分为两个阶段来完成 第一学段先整体上把 握图形的外部特征 只要学生看到物体后 脑中能马上出现这个物体的名称就行了 反之 亦然 第二学段再从图形的各部分结构及名称 图形的特征等方面进一步认识图形 体现 了循序渐进 螺旋上升的原则 第三 除了通过整体观察 局部分析的方法认识图形外 较之 标准 实验稿 还增 加了 从不同角度 不同方向观察物体的形状 拼图 将图形分类 等方式 多途径 多形式地帮助学生认识图形 总结特征 升华认识 问题三 问题三 图形的认识图形的认识 在实践中我们应该抓住哪些关键点开展教学呢 在实践中我们应该抓住哪些关键点开展教学呢 第一 有较之图形概念更上位的教学价值取向 亦即眼睛里装着学生空间观念与想象 力来处理教材 设计教学环节 有些教师侧重于 三算 算周长 算面积 算体积 上 忽略了学生空间观念与空间 想象力的培养 前者是后者的基础 而空间想象力是数学里的 三大能力 之一 更是一个 人创新能力的核心素养之一 所以 标准 将之列为关键词之一 在 设计思路 与 总体目 标 中都多次强调 归结到 图形的认识 的教学中 首先要提供丰富的教具 学具 让学生在 看一看 摸一摸 折一折 剪一剪 拼一拼 摆一摆 量一量 画一画 等具体 实际的操作活动 中 通过亲自触摸 观察 测量 制作和实验 把视觉 听觉 触觉 运动觉等协同起来 从而掌握图形的基本特征 形成几何图形的空间观念 需要强调的是 由于两个学段的学 生认知能力已经发生了很大的变化 第一学段宜 先动手 再抽象 第二学段宜 先想象 再动手 案例 案例 该让该让 想象想象 飞飞起来 起来 圆圆的的认识认识 教学教学设计设计剖析剖析 1 初步感知 师 我们以前学过的平面图形有哪些 这些图形都是用什么线围成的 简单说说这些图 形的特征 长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯形 教师出示圆片图形并提问 圆是用什么线围成的 举例 生活中有哪些圆形的物体 2 学生自己动手在准备好的纸上画一个圆 并动手剪下 3 认识圆心 动手折一折 对折两次后 你发现了什么 再对折出另外两条折痕 看看圆心是否相同 4 认识直径和半径 将折痕用铅笔画出来 比一比是否相等 观察这些线段的特征 圆心和圆上任意一点的距离都相等 板书 通过圆心并且两端都在圆上的线段 叫做直径 连接圆心到圆上任意一点的线 段 叫做半径 5 讨论 什么叫半径 圆上是什么意思 画一画两条半径 量一量他们的长短 发现了什么 什么叫直径 过圆心是什么意思 量一量手上的圆的直径的长短 你发现了什么 6 学习直径与半径的关系 学生独立量出自己手上的圆的直径与半径的长度 看它们之间有什么关系 然后讨论 测量结果 找出半径与直径的关系 7 学习画圆 介绍圆规的各部分名称及使用方法 引导学生自学用圆规画圆 并小结出画圆的步骤和方法 评析 评析 乍一看 本教学设计中规中矩 应有的环节都有 要学习的知识点都涉及了 有学生的 操作 也有借助工具画圆的活动 还有对直径 半径关系的讨论 既涉及观察和操作活动 也 涉及概括活动的过程 但是 似乎又缺少点东西 使得整节课黯然无光 本来应该多姿多彩 的几何课 却显得死气沉沉 毫无生机 在这样的氛围中学习 可见学生该是何等的郁闷 那到底缺少什么呢 是的 正是 想象 正如前面所述 激发学生的空间想象能力是几何教学的重要内容之一 也是几何教学的 不可或缺的隐形线索 前面说到 想象具有伴随性 是渗透在学习的各个环节和活动之中的 你抓不住却又实实在在存在着 是几何教学不可或缺的元素 就本节课的设计来说 可以在首尾专门渗透想象元素 从而形成首尾相连的隐线 以引 发学生插上想象的翅膀 其实很简单 关键四我们要想到 还要做到 黑格尔说过 想象是艺术创造中最杰出的艺术本领 歌德母亲教育孩子的经验就是值得 我们借鉴 她讲故事的方法很独特 总是讲到一半的时候就停下来 余下的故事则让小哥德 发挥 心理学家认为 这种自由发挥就是发散思维 就是想象力 爱因斯坦说过 想象力比 知识更重要 因为知识是有限的 而想象概括着世界上的一切并推动着进步 想象才是知识 化的源泉 请让孩子的 想象 飞起来 第二 想象能力与抽象思维能力的重要途径之一 还有就是加强其互逆过程的练习 亦即 根据几何图形想象出所描述物体的实际物体 第三 要注意创设机会让学生在三维立体图形与二维平面图形之间相互转换 也就是 要用好 长方体 正方体 圆柱和其展开图 这一学习资源 在这一教学过程中 要注意 尽量不通过 逻辑分析 来建立二者之间的联系 而是多通过实物操作 让学生亲眼看到 立体图形是如何分解成平面图形 平面图形是怎样折成立体图形的 甚至还可以增加一些 正棱锥与其展开图之间的练习 案例 案例 圆圆柱的柱的认识认识 教学圆柱的认识时 还应该开展以下活动进一步认识圆柱 1 从不同的角度观察圆柱 分析从不同角度分别看到什么样的结果 2 剪开圆柱的侧面 想象剪开后的图形会是什么图形 3 把圆柱切割成两部分 截面是什么形状 评评析 析 关于折叠和展开 现在更要强化关于长方体 正方体 圆柱体的展开图的教学 在 进行折叠和展开的操作过程中 必须要通过儿童的想象 使孩子们认识到 立体图形的结构 和展开图之间的对应关系 获得对空间的理解 这一过程体现了三维图形与二维图形之间相 互转换的具体要求 在图形转换中引