Lebesgue积分思想简介

Lebesgue 积分思想简介 数学与信息工程系 数学与应用数学 2012 级 吴茂岚 指导老师 柳彦军 摘要 摘要 实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点 黎曼 积分的积分对象是连续函数和 基本连续 函数 而许多现实问题中遇到的函数并不具有 这种特性 另外 黎曼积分在处理积分与极限交换次序 重积分交换次序等问题时对条件 的要求过于苛刻 一般来说是不容易被满足的 这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到 很大的限制 虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的 但摆脱各种条件的 限制 使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标 关键词 关键词 Riemann 积分 实变函数 微积分 Abstract The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz s calculus The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the basic continuous function And many of the real problems encountered in the function does not have this feature In addition the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh generally speaking is not easy to be satisfied which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable but get rid of the limitation of various conditions making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of Key word Riemann integral Real variable function calculus 一 一 引言引言 Lebesgue 在发表于 1902 年的经典论文 积分 长度与面积 与随后出版 的两部论著 论三角函数 和 积分与原函数的研究 中第一次阐述了测度理 论与积分思想 其后十年 一批数学家广泛发展了 Lebesgue 的工作 包括 Lebesgue 本人 奥地利数学家 Radon 美国数学家 Nikodym 等人相继推广了 Lebesgue 积分与 Lebesgue 测度理论 一般测度空间中的积分理论是由法国数 学家费雷歇在 1915 年前后完成的 到 20 世纪 30 年代 Lebesgue 积分理论已 经很成熟 并在概率论 普理论 泛函分析等学科中获得广泛应用 现代积分 理论的基本框架至 20 世纪 50 年代已大体形成 二 二 RiemannRiemann 积分有缺陷 引入积分有缺陷 引入 LebesgueLebesgue 积分积分 2 1Riemann 积分回顾 设 f x 是在 a b 上的有界函数 取分割 T bXXaX n 10 若有 则称 f x 在区间 a b 上 Riemann 积分可积 积分写作 0lim 0 i T i T Xw i T i a bT xfdxxf lim 0 1 iii xx 然后我们看最简单的 Dirichlet 函数 容易证明这 Qx QRx xf 1 0 个函数并不是 Riemann 可积的 由此我们看到了 Riemann 积分的要求太苛 刻 至于一个简单的函数都未必可积 在 式中我们不难发现 要求 Riemann 可积 必须该极限与的选取无关 i 这要求 f x 在区间 上改变很小 也就是函数不能 太过间断 1 ii xx 而满足这个条件的比较是少数 而这也是 Riemann 积分定义缺陷所在 1我们知道 积分与分割 介点集的取法无关 先看 Riemann 积分的定义 割 i n i i a bT xfdxxfR 1 0 lim iii iii xx xxx 1 1 于是 它的几何意义 非负函数 函数图像下发图形的面积 1 2 2 Riemann 积分的充要条件 要使 f x 在 a b 上 Riemann 可积 即 i n i i T a b XMdxxfbaxf 1 0 lim dxxfxm a b i n i i T lim 1 0 i n qi i xtsT 0 分割 iii iii iii mM xxxxfm xxxxfM inf sup 1 1 i n i i T a b xfdxxfR 1 0 lim 例 Dirichlet 函数 Qx Qx c xD 1 0 1 1 0 0 1 1 0 dxxD 0 1 0 dxxD D x 不是 Riemann 可积 2 3 Riemann 积分的缺陷 a 微积分基本定理 若 F x 在 a b 上连续 则 1881 年 x a aFxFdttFR Voltema 作一可微函数 导函数有界 但是不 Riemann 可积 1980 年 Cohn 证明 若则 baLfbaDf ba afbfdxxfL b 积分与极限交换次序 数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题 然而 交 换次序的条件是需要函数列一致收敛 这是不易满足的 也不易验证的 例如 收敛于 10 xxxf n n 10 0 1 1 x x xf 但不是一致收敛的 可是 dxxfdxxfdxxf n n n n lim 0 lim 1 0 1 0 1 0 另一方面 即使是可积的 渐升的函数列 也不能保证其极限函数的可 积性 如 设是 0 1 中的有理数的全体 作函数列 r nQrrrrx n nn xf 1 0 21 其他 显然有 有 1 121 xfxfxfxf nn xfi i 个间断点 lim 1 0 1 0 21 xDxfxf Qxrrrx n n n 其他 不存在 而dxxfdxxf n n n n lim 0 lim 1 0 1 0 由于只收敛 而不满足一致收敛 所以 Riemann 不可积 xfn 这里 每个皆是 0 1 上的 Riemann 可积函数 且积分值为 0 故 xfn 但是函数 f x Dirichlet 函数 不是 Riemann 可积的 0 lim 1 0 dxxfn n 因此 不能在积分号取下极限了 再说 设是 a b 上的可积函数列 且 xgxf nn 以及 则必有 2 1 fn nMxgMx n lim limxfxgxfxf n nn 然而 f x 的积分可能是不存在的 也就是说 b a n n b a n n dxxgdxxf lim lim 上述积分的极限并不依赖与本身 而依赖于 f x 既然如此 定义积分 x fn 为也无妨 这说明 Riemann 积分的定义太窄 6 dxxfdxxf b a n b an lim 2 4 勒贝格积分的引入 在黎曼积分的范围内对具有无穷多次激烈震荡的函数无法进行研究 于是 勒贝格提出不分割函数的定义区间 而是从分割函数的值域入手定义积分 引 入勒贝格积分的方式通常有三种 方式 1 设是定义在中可测集 E 上的有界函数 作可测集 E 的任意可测 xf n R 划分 i m i EED 1 jiEEji 令 xfb iEx i inf xfB iEx i sup 2 1mi 对应分划 D 的小和与大和分别为 与 m i iiDmEbs 1 m i iiDmEBS 1 讨论其小和的上确界与大和的下确界是否相等 若二者相等 则D D s sup D D S inf 称在可测集 E 上勒贝格可积 并称二者的共同值为在 E 上的勒贝格积 xf xf 分 方式 2 设是定义在中可测集 E 上的有界函数 即 将 xf n R BxfA 任意分成 n 个小区间 BA 110ByyyyyADnii 在每个小区间上任取一点 关于分划 D 的勒贝格 iiiyy 1 ni 2 1 xf 和为 1 1 n i iiiyfymEDfL 其中 11iiiiyxfyExxyfyE 且 记对的任意分划 D 及任意的 讨论极限 1 1 max ii ni yy BA iiiyy 1 n i iiiyxfymE 1 1 0 lim 是否存在 若极限存在 则称在可测集 E 上勒贝格可积 并称该极限值为 xf 在 E 上的勒贝格积分 xf 方式 3 设是定义在中可测集 E 上的非负可测函数 令 xf n R 为简单函数 0ff 定义在 E 上的勒贝格积分为 其中非负简单函数 xf E fdx sup 在 E 上的积分 m i Eiic 1 的示性函数为iEEi E m i iimEcdx 1 然后利用非负可测函数的勒贝格积分定义一般可测函数的勒贝格积分 2 7 2 5 Lebesgue 积分的性质 1 设 则对于 E 上的任何实函数都有0 mE E但 xf E fdx 0 2 设在 E 上的积分确定 则 即在 E 上 a e 有限 xf 0 fmE xf 3 设在 E 上的积分确定 则在 E 上的任一可测子集 A 上的积分也 xf xf 是确定的 又如 A 与 B 皆可测且 则BAE BAE dxxfdxxfdxxf BAE 4 设在 E 上的积分确定 并且 则在 E 上的积分 xf Eeaxgxf于 xg 也是确定的 并且 dxxgdxxf EE 5 设和在 E 上非负可测 则 xf xg dxxgdxxfdxxgxf EEE 6 设和在 E 上积分确定 并且 则 xf xg xgxf dxxgdxxf EE 7 设和在 E 上可积 c 为一实数 则和在 E 上也是可 xf xg xcf gf 积的 并且 EE fdxcdxcf EEE gdxfdxdxgf 8 当在 E 上的积分值确定时 在 E 上可积的充分必 xfdxffdx EE f 要条件是在 E 上可积 勒贝格积分的绝对可积性 xf 9 当在 E 上非负可积时 若 则 xf E fdx0 E Eeafdx 0于 10 积分的绝对连续性 设在 E 上可积且 则 xfEA 0lim 0 dxxf AmA 即 有 使得当且时有0 0 EA mA A fdx 注 1 关于黎曼积分 性质 8 是不成立的 对于正常黎曼积分来说 虽 然当在某区域上可积时 在上也可积 但是当在上可积时 fDfDfD 在上却不一定是可积的 对于广义黎曼积分来说 当在某区域上可积fDfD 时 在上不一定可积 fD 2 关于非正常黎曼积分 性质 10 不成立 1 3 2 6 一般可测函数的勒贝格积分 2 6 1 非负函数的勒贝格积分 定义 1 设为定义在可测集上的非负可测函数 若存在测度有限 xf n RE 的单调递增可测集列 满足 且存在定义在 E 上的单调递增有 iE i 1 EEi i lim 界可测函数列 满足 则称 其为有限值 xfi i 1 xfxfi i lim dxxf E i i lim 或 为在 E 上的勒贝格积分 记为 即 xf dxxf E limdxxfdxxf iE i iE 其中集合 E 称为积分集合 函数称为被积函数 若为有限值 则 xf dxxf E 称在 E 上勒贝格可积 xf 注意 1 存在测度有限的单调递增可测集列 且满足 iE i 1 EEi i lim 的要求不难做到 例如取即可 iONEEi 2 存在单调递增的有界可测函数列 且满足 xfi i 1 xfxfi i lim 的条件也不难做到 例如取 ixfxf ixfii ixfxf 即可 其中称为的截断函数 i xf xf 3 因为 且 由有界函数在测度有限1 iiEE xfxfii10 2 1 i 集合上的 L 积分的性质 知 dxxfdxxf iiE i E i 1 1 2 1 i 即为单调递增数列 于是存在 其为有限值或 1iE i i dxxf dx xf iE i i lim 4 为方便起见 通常和分别为 1 与 2 中的取法 4 1i iE 1i ixf 8 2 6 2 一般函数的勒贝格积分 任意函数均可以表示为其正部函数与负部函数两个非负函数之 xf xf xf 差 且在 E 上可测当且仅当与均在 E 上可测 因此 当 xf xf xf 在 E 上可测时 由定义 1 与均存在 于是可以定义 xf dxxf E dxxf E 一般函数的勒贝格积分如下 定义 2 设为定义在可测集上的可测函数 若与 xf n RE dxxf E 至少有一个为有限值 则称 dxxf E dxxfdxxfdxxf EEE 为在 E 上的勒贝格积分 其为有限值或 此时也称在 E 上有勒贝 xf xf 格积分 其中集合 E 称为积分集合 函数称为被积函数 若与 xf dxxf E 均为有限值 则为有限值 此时称 dxxf E dxxfdxxfdxxf EEE 在 E 上勒贝格可积 xf 注意 由 L 积分的定义不难得到 若或 则在 E 上一定 L 0 xf0 mE xf 可积 且 4 8 0 dxxf E 2 7 勒贝格积分的特点 勒贝格积分的特点要通过与黎曼积分相比较才能显现出来 黎曼积分是借助一 个定义在有限区间上的有界函数 通过分割区间 得到若干个小 ba xf ba 区间 作黎曼和式 在分割与取法任意的 1 kkkxxe 1 0 1 n k kkkkxxf k 情形 通过取极限而得到的 黎曼积分适用的函数具有较大的局限性 勒k 0 lim 贝格积分的思想不是将轴上很靠近的数划入同一个 而是将函数值很相近xke 的所对应的值划入同一个 即设在上 若 分割 xfxke ba dxfc 为 令 这 dc dyyycn 10 1 1 1 kkkkyyfyyxfxek 样 虽然可以很小 但同一中相异两点却可以相差很远 所以 勒kkyy 1ke 贝格积分中的不一定是区间 可以是若干个区间之和 也可以是更一般的集 ke 从而 在作和式时 的长度自然是勒贝格测度 为此 要求是可ke kem xf 测函数 勒贝格积分是在勒贝