广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题理（含解析）.docx

广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题 理（含解析）一选择题（60分）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合和，由此能求出.【详解】集合，集合，所以.故选：C【点睛】本题考查交集的运算和不等式的解法，属于基础题2.已知，是关于的方程的一个根，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由是关于的方程的一个根，代入方程化简得，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数是关于方程的一个根，可得，即：，所以，解得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的单调性，分别求得的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得，即，即，即，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.【详解】由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；当时，则0，所以函数在上递增，排除A，故选.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A. B. C. D. 与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，阴影部分M的面积为：，阴影部分的面积阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下图是判断输入年份是否是闰年的程序框图，若先后输入，则输出的结果分别是（注：表示除以的余数）（）A. 是闰年，是闰年B. 是闰年，是平年C. 是平年，是闰年D. 是平年，是平年【答案】C【解析】【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，输入时，输出是平年，输入时，输出是润年，故选【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，成等比数列，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得，利用等差数列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，知，成等比数列，所以，即，整理得，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线为，由，得到点的坐标为，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线为，设，因为，可得点的横坐标为，代入渐近线，可得，所以点的坐标为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知函数，则( )A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 在上单调递减D. 在上单调递减，在上单调递增【答案】A【解析】【分析】根据已知中的函数的解析式，分析函数的单调性和奇偶性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，解得，令，故在为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，可排除C、B、D项，又由，满足，所以函数的图象关于点对称，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.设是定义在上的偶函数，都有，且当时，若函数（，）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由得函数的图象关于直线对称，又是偶函数，即图象关于直线对称，因此它还是周期函数，且周期为，函数的零点个数就是函数与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有或，解得或故选C考点：函数的零点【名师点睛】本题考查函数零点，函数的零点，就是方程的解，也是函数的图象与轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论本题解法是数形结合思想的应用二、填空题（共20分）13.若满足约束条件，则最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点C时，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题14.已知是夹角为的两个单位向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知函数，若在上恰有个极值点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为，再由在上恰有个极值点，得到，即可求解.【详解】由题意，令，即，解得，所以函数的极值点为，又在上恰有个极值点，所以这三个极值点只能是在，所以有，解得.所以实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.在三棱锥中，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由，可知为三棱锥的外接球的一条直径，过点作平面，可知为外接圆的一条直径，计算出的长度，再利用勾股定理计算出的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设的中点为点，为三棱锥的外接球的一条直径，过点作平面，垂足为点，、平面，由勾股定理可得，同理可知，为等边三角形，设的外接圆圆心为点，连接，则，且，由中位线的性质可知点为的中点，为圆的一条直径，所以，由圆的内接四边形的性质可知，由正弦定理可得，因此，球的表面积为，故答案为：.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三（解答题，共70分）17.的内角所对的边分别为，已知的面积为.证明：；若求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式化简得，进而得到，即可作出证明；（2）因为，求得，由（1）得，利用余弦定理求得，再由面积公式，即可求解.【详解】（1）由三角形的面积公式，可得，即，又因为，所以，又因为，所以，所以.（2）因为，由三角函数的基本关系式，可得，由（1）得，由余弦定理得，解得，所以.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对两位选手，随机调查了个学生的评分，得到下面的茎叶图：通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数低于分分到分不低于分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级记事件“获得的分流等级高于”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件发生的概率.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）通过茎叶图可以看出，得分数的平均值高于得分数的平均值，得分数比较集中，得分数比较分散；（2）记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，选手所得分数的平均值高于选手所得分数的平均值；选手所得分数比较集中，选手所得分数比较分散.（2）记表示事件:“选手直接晋级”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手复赛待选”表示事件:“选手淘汰出局则与独立，与独立，与互斥，则，由所给数据得，发生的频率分别为.故，所以.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是中点.求证：平面；若直线与平面所成角为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接交于，连接，由题意可知，又在平面外，平面，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，由，得，取，又由直线与平面所成的角为，得，解得，同理可得平面的法向量，由向量的夹角公式，可得，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.由，可得，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得，即可求得直线的方程.【详解】（1）由题意，可得，设，联立方程组，整理得，则，又由.（2）由题意，知，由，可得又，则，整理得，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数，为的导数，且.证明：在内有唯一零点；.（参考数据：，.）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，得，分别求得在区间和上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到，利用作差比较，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则所以，当时，可得，即在内没有零点，当时，因为，所以，所以在上单调递减，又，且，所以在内有唯一零点.（2）由（1）得，当时，所以，即单调递增；当时，所以，即单调递减，即的最大值为，由得，所以，因此，因为，所以从而，即，所以，故.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线经过点且倾斜角为.求圆的直角坐标方程和直线的参数方程；已知直线与圆交与，满足为的中点，求.【答案】