【重庆大学电工学】第3章一阶电路暂态响应

第3章一阶电路暂态响应 换路定则一阶电路的暂态响应一阶电路的矩形波响应 换路定则 日常生活中的暂态现象电路中暂态产生的原因换路定则内容电路中初始值的确定初始值确定举例 日常生活中的暂态现象 前面我们所讨论的是电路的稳定状态 所谓稳定状态 就是电路中的电流和电压在给定的条件下已到达某一稳态值 对交流讲是指它的幅值到达稳定 稳定状态简称稳态 电路的过渡过程往往为时短暂 所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态 因而过渡过程又称为暂态过程 暂态过程虽然为时短暂 但在实际工作中却是极为重要的 电路中暂态产生的原因 暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的 电路中产生暂态的主要原因是由于电路的接通 切断 短路 电源电压的改变或电路中元件参数的改变等 称为换路 引起电路中的电压和电流发生变化 当电路中含有电感元件和电容元件的时候 就会引起电路中的能量关系发生变化 即 使电感储存的磁场能量发生变化 或使电容中储存的电场能量发生改变等 而这种变化也是不能跃变的 在含有储能元件的电路中发生换路 从而导致电路中的能量关系发生改变是电路中产生暂态的原因 S闭合前 S闭合后很久 可见 除了W2以外 WC和WL均与时间无关 如果希望电路中没有暂态 则在从t 0 到t 0 时间内应该有 即 要求电源的功率为无穷大 这显然是不可能的 所以 在这样的电路中一定有暂态存在 电路中暂态产生的条件 1 电路必须进行换路 即电路的接通 断开 短路 开路 电源电压改变或电路参数改变 2 电路中必须有储能元件L或C 3 换路前后储能元件储存的能量发生改变 换路定则内容 由于电路的换路 使电路中的能量发生变化 而这种变化是不能跃变的 必须是连续的 设t 0为换路瞬间 t 0 表示换路前的终止瞬间 t 0 表示换路后的初始瞬间 0 和0 在数值上都等于0 但0 是t从负值趋近于0 0 是t从正值趋近于0 从t 0 到t 0 瞬间 电感元件中储存的磁场能量WL和电容元件中储存的电场能量WC是不能跃变的 即 对于线路元件L C为常数 所以 当换路时WL不能跃变则反映在电感中的电流iL不能跃变 WC的不能跃变则反应在电容上的电压uc不能跃变 所以通常换路定则又表示为 在换路时刻t 0 至t 0 瞬间 电容电压和电感电流是可以突变的话 则有电容电流为 电感电压为 这显然违背克希荷夫定律 在实际的电路中是不可能的 因此 只有在换路时刻t 0 至t 0 瞬间电容电压和电感电流都不能突变 如果换路发生在任意时刻t T 则换路定则表达式为 电路中初始值的确定 换路定则仅适用于换路瞬间 可根据它来确定t 0 时电路电压和电流之值 即暂态过程的初始值 其方法如下 1 由t 0 时的等效电路求出uC 0 和iL 0 如果换路前电路处于稳态 则电感视为短路 电容视为开路 2 在t 0 的电路中 用换路定则确定uc 0 和iL 0 作出t 0 的等效电路 3 用电压源V0 uc 0 代替电容 用电流源I0 iL 0 代替电感 作出t 0 时刻的等效电路 应用求解直流电路的方法 计算电路中其他各量在t 0 时的初始值 初始值的确定 初始值确定举例 例1 如图1所示电路 求换路后电容电压的初始值uC 0 iR 0 换路前开关S闭合电路处于稳态 解由于换路前电路处于稳态 电容相当于开路 作出t 0 等效电路如图所示 t 0 的电路 图1 根据t 0 等效电路如图 按分压公式便可计算出电容电压为 用8V电压源代替uC 0 画出t 0 的等效电路见图所示 初始值确定举例 例2 如图2所示电路 计算开关S闭合后各元件的电压和各支路电流的初始值 开关闭合前电容电压为零值 解因为uC 0 0 根据换路定律 uC 0 0 作出t 0 电路如图所示 应用克希荷夫定律列出电路方程如下 例3在图3所示电路中 已知 R1 4 R2 6 R3 3 C 0 1 F L 1mH US 36V 开关S闭合已经很长时间 在t 0时将开关S断开 试求电路中各变量的初始值 解 画出t 0 的电路如图3图 b 所示 电容C以开路代替 电感L以短路代替 求出uC 0 和iL 0 画出t 0 的电路如图 c 所示 电容C以电压源代替 电感L以电流源代替 由此计算出t 0 时 电路中的各量的初始值如下表所示 4A 0 2A 12V 0 4A 6A 2A 12V 0 例4电路如图4所示 求在开关s闭合瞬间 t 0 各元件中的电流及其两端电压当电路到达稳态时又各等于多少 设在t 0 时 电路中的储能元件均未储能 解 因为换路前电容元件和电感元件均未储能 所以 由此画出t 0 时的等效电路如下图 图4a 时 0 0 0 0 8V 1A 1A 1A 1A 2V 8V 8V 0 0 0 0 由上分析可见 电路中除元件uC的 iL以外的电容电流 电感电压以及电阻支路电流 电压 t 0 时刻初始值是可以突变也可以不突变的 这些电流 电压的初始值 不能用换路定律直接来求解 一阶电路的暂态响应 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路 不论是简单的或复杂的 它的微分方程都是一阶常系数线性微分方程 这种电路称为一阶线性电路 对于一阶线性电路 我们可以利用经典法 列写电路的微分方程并求解 来分析电路的暂态响应 根据分析过程中的特点 总结出用于分析一阶电路而不必求解微分方程的方法 三要素法 一阶电路的暂态响应分析 对应其次方程的通解 该非齐次方程的特解 对方程 其特解应为 所以 带入初始条件为 令 称为时间常数 其中 电容电压的终值 电容电压的初值 RC RC电路的时间常数 称这三个参数为一阶电路的三要素 这样 我们只要找出这三个要素就不必再求解电路的微分方程了 这种方法就称为三要素法 时间常数的意义 从曲线可见 时间常数 的物理意义是电容电压从初始值上升到稳态值的63 2 所需时间 或者电阻电压从初始值下降至稳态值的36 8 所需的时间 可以证明曲线上任意点的次切距也等于 从理论上讲 只有t 曲线才趋于稳态值 但是由于指数曲线起始部分变化快 后面变化较慢 所以 实际中认为t 3 5 暂态过程就结束 随时间衰减 所以 时间常数越大 电路的暂态越长 这是因为 如果电阻一定 则时间常数越大 电容值就越大 相同电压下所储存的电荷越多 完成充放电的时间也越长 暂态过程越长 如果电容值一定 则时间常数越大 电阻值就越大 电路阻碍电流流动的作用越强 要完成充放电的时间也越长 暂态过程越长 三要素法应用步骤 初始值的求取 t 0 t 0 f 0 终值的求取 t f 时间常数的求取 RC L R代入公式 求取结果画出曲线 曲线从0 开始 到 结束 按指数规律变化 例题分析 例1 试在图示的电路中 确定在开关s断开后的电压uC和电流iC i1 i2之值 C 1 F s断开前电路已处于稳态 解 1 列表求初值和终值 2 求取 值 断开C 短接电压源求出其戴维南等效电路的等效电阻为 例2 在图示电路中开关s原先合在l上 电路已处于稳态 L 1H 在t 0时将开关从l端合到2端 试求换路后小i1i2 iL及uC的值 解 1 列表求初值和终值 2 求取 值 断开L 短接电压源求出其戴维南等效电路的等效电阻为 解毕 一阶电路的矩形波响应 在RC电路中选择不同的时间常数 RC 和不同的输出端 可以近似得到输入与输出间的微分与积分