2021高三数学北师大版（文）课后限时集训：空间图形的基本关系与公理含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）课后限时集训：空间图形的基本关系与公理含解析编 辑：_时 间：_空间图形的基本关系与公理建议用时：45分钟一、选择题1下列命题中、真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点、那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面；空间中、相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M、M、l、则Ml.A1B2C3D4B根据公理2、可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面、故是假命题；在空间、相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)、故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上、真命题的个数为2.2在正方体ABCDA1B1C1D1中、E、F分别是线段BC、CD1的中点、则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直A由BCAD、ADA1D1知、BCA1D1、从而四边形A1BCD1是平行四边形、所以A1BCD1、又EF平面A1BCD1、EFD1CF、则A1B与EF相交3a、b、c是两两不同的三条直线、下面四个命题中、真命题是()A若直线a、b异面、b、c异面、则a、c异面B若直线a、b相交、b、c相交、则a、c相交C若ab、则a、b与c所成的角相等D若ab、bc、则acC对于A、B、D、a与c可能相交、平行或异面、因此A、B、D不正确、根据异面直线所成角的定义知C正确4在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点、如果EF、GH相交于点P、那么()A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外A如图、因为EF平面ABC、而GH平面ADC、且EF和GH相交于点P、所以点P在两平面的交线上、因为AC是两平面的交线、所以点P必在直线AC上5如图所示、在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中、AA12AB2、则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.D连接BC1、易证BC1AD1、则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1、由AB1、AA12、则A1C1、A1BBC1、在A1BC1中、由余弦定理得cosA1BC1.二、填空题6已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱、则在这个长方体的十二条棱中、与AE异面且垂直的棱共有_条4作出长方体ABCDEFGH.在这个长方体的十二条棱中、与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条7已知在四面体ABCD中、E、F分别是AC、BD的中点若AB2、CD4、EFAB、则EF与CD所成角的度数为_30如图、设G为AD的中点、连接GF、GE、则GF、GE分别为ABD、ACD的中位线由此可得GFAB、且GFAB1、GECD、且GECD2、FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB、GFAB、EFGF.因此、在RtEFG中、GF1、GE2、sinGEF、可得GEF30、EF与CD所成角的度数为30.8如图是正四面体的平面展开图、G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点、在这个正四面体中、GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中、正确命题的序号是_如图、把平面展开图还原成正四面体、知GH与EF为异面直线、BD与MN为异面直线、GH与MN成60角、DE与MN垂直、故正确三、解答题9已知空间四边形ABCD(如图所示)、E、F分别是AB、AD的中点、G、H分别是BC、CD上的点、且CGBC、CHDC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点证明(1)连接EF、GH、因为E、F分别是AB、AD的中点、所以EFBD.又因为CGBC、CHDC、所以GHBD、所以EFGH、所以E、F、G、H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行、但共面、所以设FHACM、所以M平面EFHG、M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABCEG、所以MEG、所以FH、EG、AC共点10如图所示、在三棱锥PABC中、PA底面ABC、D是PC的中点已知BAC、AB2、AC2、PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解(1)SABC222、三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图、取PB的中点E、连接DE、AE、则EDBC、所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中、DE2、AE、AD2、cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.1在正三棱柱ABCA1B1C1中、ABBB1、则AB1与BC1所成角的大小为()A30B60C75D90D将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1、连接C1D、BD、则C1DB1A、BC1D为所求角或其补角设BB1、则BCCD2、BCD120、BD2、又因为BC1C1D、所以BC1D90.2在正方体ABCDA1B1C1D1中、M、N分别为棱CC1、A1D1的中点、则异面直线A1B与MN所成的角为()A30B45 C60D90A如图、取C1D1的中点P、连接PM、PN、CD1.因为M为棱CC1的中点、P为C1D1的中点、所以PMCD1、所以PMA1B、则PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角设AB2、在PMN中、PMPN、MN、则cosPMN、即PMN30.故选A.3.如图所示、在四面体ABCD中作截面PQR、若PQ与CB的延长线交于点M、RQ与DB的延长线交于点N、RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：直线MN平面PQR；点K在直线MN上；M、N、K、A四点共面其中正确结论的序号为_由题意知、MPQ、NRQ、KRP、从而点M、N、K平面PQR.所以直线MN平面PQR、故正确同理可得点M、N、K平面BCD.从而点M、N、K在平面PQR与平面BCD的交线上、即点K在直线MN上、故正确因为A直线MN、从而点M、N、K、A四点共面、故正确4如图、在四棱锥OABCD中、底面ABCD是边长为2的正方形、OA底面ABCD、OA2、M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4、所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图、连接AC、设线段AC的中点为E、连接ME、DE、又M为OA中点、MEOC、则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角、由已知可得DE、EM、MD、()2()2()2、即DE2EM2MD2、DEM为直角三角形、且DEM90、tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.5如图、平面ABEF平面ABCD、四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形、BADFAB90、BCAD、BEFA、G、H分别为FA、FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由题设知、FGGA、FHHD、所以GHAD.又BCAD、故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由BEFA、G是FA的中点知、BEGF、所以EFBG.由(1)知BGCH、所以EFCH、故EC、FH共面又点D在直线FH上、所以C、D、F、E四点共面1平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A、平面CB1D1、平面ABCDm、平面ABB1A1n、则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.A根据平面与平面平行的性质、将m、n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1、m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1、且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1、B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1、且平面CB1D1平面DCC1D1CD1、同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中、CB1D1是正三角形、故直线B1D1与CD1所成角为60、其正弦值为.2在长方体ABCDA1B1C1D1中、ABBC1、AA1、则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.C如图