随机变量的分布函数 概率论与数理统计教学课件

概率论与数理统计 主讲 柯大观电话 86689930 办 手机号 674706Email kdg 办公地点 温州医学院茶山校区4A417公共邮箱 kdgpublic 公共邮箱密码 09shenggong 随机变量的分布函数 设X为一随机变量 则对任意实数x X x 是一个随机事件 称 为随机变量X的分布函数 F x 是一个普通的函数 DistributionFunction 分布函数的定义 分布函数的性质 F x 是单调不减函数 0 F x 1 且 F x 处处右连续 蒲丰投针问题BuffonNeedleproblem 1777年的一天 法国数学家蒲丰 ComtedeBuffon 1707 1788 把一些朋友请到家里 他事先在一张大白纸上画好了一条条等距离的平行线 又拿出许多质量均匀 长度恰好是平行线间距的一半的小针 请朋友们把针一枚一枚随意投到白纸上 蒲丰则在一旁观察每一枚投出的针是否与平行线相交 计数结果是 共投了2212枚 其中704枚与平行线相交 于是 蒲丰计算了这两数之商 2212 704 3 142 然后宣布 这就是圆周率 的近似值 连续型随机变量及其概率密度定义对于随机变量 若存在一个非负可积函数 使对任意的 都有 1 成立 则称X为连续型随机变量 称为的概率密度函数 简称密度函数或概率密度 Probabilitydensityfunctionp d f 密度函数在区间上的积分 随机变量在区间上取值的概率 概率密度函数的性质 非负性 规范性 密度函数和分布函数的关系 积分关系 导数关系 连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 P X a 0 P a X b P a X b P a X b P a X b X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质 因此 连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0 解Step1 利用密度函数的性质求出a 例 已知密度函数求概率 Step2 密度函数在区间的积分得到此区间的概率 例 已知分布函数求密度函数 2 X的密度函数 2 密度函数为 解 解 当x 1时 当1 x 5时 例 已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量X的概率密度为 求X的分布函数 当x 5时 所以 练一练 已知连续型随机变量X的概率密度为 2 求X的分布函数 练一练 2 求X的密度函数 均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度为 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b UniformDistribution 定义 分布函数 X 等可能 地取区间 a b 中的值 这里的 等可能 理解为 X落在区间 a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的 或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 意义 102电车每5分钟发一班 在任一时刻某一乘客到了车站 求乘客候车时间不超过2分钟的概率 设随机变量X为候车时间 则X服从 0 5 上的均匀分布 解 例 X U 0 5 几何概型 一维 思考 设 在 1 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概率 解方程有实数根 即 而的密度函数为 所求概率为 指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 ExponentialDistribution 定义 分布函数 则称X服从参数为的指数分布 例 设X服从参数为3的指数分布 求它的密度函数 及 和 解 X的概率密度 例如E 抽样调查15 18岁青少年的身高X与体重Y 以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况 前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量 又称为一维随机变量 然而在许多实际问题中 常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系 因此 我们将二者作为一个整体来进行研究 记为 X Y 称为二维随机变 向 量 设X Y为定义在同一样本空间 上的随机变量 则称向量 X Y 为 上的一个二维随机变量 定义 二维随机变量 二维随机变量 X Y 的取值可看作平面上的点 二维随机变量的联合分布函数 若 X Y 是随机变量 对于任意的实数x y 定义 称为二维随机变量的联合分布函数 性质 3 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 联合分布函数表示矩形域概率 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 二维离散型随机变量 若二维随机变量 X Y 的所有可能取值只有限对或可列对 则称 X Y 为二维离散型随机变量 如何反映 X Y 的取值规律呢 定义 研究问题 联想一维离散型随机变量的分布律 X Y 的联合概率分布 分布律 表达式形式 表格形式 常见形式 性质 的可能取值为 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 例 解 若存在非负函数f x y 使对任意实数x y 二元随机变量 X Y 的分布函数可表示成如下形式 则称 X Y 是二元连续型随机变量 f x y 称为二元随机变量 X Y 的联合概率密度函数 二维连续型随机变量的联合概率密度 定义 联合概率密度函数的性质 非负性 几何解释 随机事件的概率 曲顶柱体的体积 设二维随机变量 的概率密度为 1 确定常数k 4 求 例 1 所以 解 2 当时 当时 所以 3 或解 4 解 续解 x y 3 1 解答 蒲丰投针问题求解 平面上画有距离为a的一些平行线 向平面上任意投一根长为l l a 的针 试求针与平行线相交的概率P 解如图一所示 以M表示针落