2014届格致中学高考三模试题(参考答案).doc

格致中学 二一四届高考模拟考试参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1 已知集合,则 .解析:.2 若函数与的图像关于直线对称,则 .解析:由得,从而,所以的反函数.3 已知角的终边上的一点的坐标为,则角的最小正值为 .解析:.4 已知和都是纯虚数,那么 .解析:.5 若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点,则.解析:.6 设为等差数列,若,则的值为.解析:.7 设整数是从不等式的整数解的集合中随机抽取的一个元素,记随机变量,则的数学期望 .解析:.8 对于空间中的三条直线,有以下四个条件:三条直线两两相交；三条直线两两平行；三条直线共点；两直线相交,第三条平行于其中一条与另个一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有 个.解析:个.9 圆的圆心的极坐标是 .答案:.解析:极坐标方程两边乘以,化成直角坐标方程为,所以圆心的直角坐标为,再化成极坐标为.10 已知分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任意一点,则的取值范围是 .答案:.解析:,因为且函数在上单调递增,所以,故.11 把实数、排形成如的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点,若曲线在矩阵的作用下变换成曲线,则的值为_.答案:.解析:因为点在矩阵的作用下变成点.所以曲线在矩阵的作用下变成曲线与比较得.12 已知数列满足:,若前项中恰好含有项为,则的值为 .答案:或.提示:先试探性的写出一个值,然后分析数列中项的情况,进而做出推理验证.13 在面积为的中,分别是,的中点,点在直线上,则的最小值是 .答案:.解析:问题可转化为:已知的面积为,求的最小值.由题设知,的面积为,以为原点,所在直线为轴,过点与直线垂直的直线为轴建立平面直角坐标系,设,则,当且仅当时取等号,的最小值是.14 设函数,下列四个命题中真命题的序号是 .(1)是偶函数； (2)不等式的解集为；(3)在上是增函数； (4)方程有无数个实根.解析:(1)(2)(4).提示:特殊到一般,分别画出和的草图,就可以类比猜想出的图像,根据图像数形结合不难得出结论.二、选择题:(每题5分,共20分)15 如果是关于的实系数方程的一个根,则圆锥曲线的焦点坐标是 ( ) 答案:16 某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买黄金,售货员先将的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( )大于 小于 大于等于 小于等于答案:.解答:设两边的臂长分别是,二次称得的黄金重量分别是.则有杠杆原理得,从而.17 某校高三年级举行的一次演讲比赛共有位同学参加,其中一班有位,二班有位,其他班有位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的位同学没有被排在一起的概率为 ( ) 答案:.解析:位同学总参赛次序.一班位同学恰好排在一起,而二班的位同学没有排在一起的方法数为先将一班人捆在一起,与另外人全排列,二班位同学不排在一起,采用插空法,即.所求概率为.18 设函数,其中.若是的三条边长,则下列结论中正确的是 ( )对一切都有；存在,使不能构成一个三角形的三条边长；若为钝角三角形,则存在,使. 答案:.三、解答题:(本大题共74分)19(本小题12分)如图,棱锥中,平面,底面为直角梯形,且,.(1)求证:；(2)求与平面所成的角的正弦值.解析:平面,.以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系.,.(1),所以.(2),设平面法向量,.,.即与平面所成角的正弦值为.20(本小题14分)设三个内角所对的边分别为. 已知.(1)求角的大小；(2)如图,在的外角内取一点,使得.过点分别作直线的垂线,垂足分别是.设,求的最大值及此时的取值.解析:(1)由及正弦定理可得,即,又,所以有或.又因为,得,与矛盾,所以,因此.(2)由题设,得在中,；在中,；所以,因为,所以,从而有,即.于是,当时,PMPN取得最大值.21(本小题14分)定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数.(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由；(2)若函数在上是以为上界的有界函数,求实数的取值范围.解析:(1)当时,. 在上递减,即在的值域为,故不存在常数,使成立.函数在上不是有界函数.(2)由题意知,在上恒成立.,在上恒成立, .设,由得,在上递减,在上递增,在上的最大值为,在上的最小值为.实数的取值范围为.23(本小题16分)在平面直角坐标系中,已知三点,曲线上任意点满足:.(1)求曲线的方程；(2)设点是曲线上的任意一点,过原点的直线与曲线相交于两点,若直线的斜率都存在,并记为,.试探究的值是否与点及直线有关,并证明你的结论；(3)设曲线与轴交于两点,点在线段上,点在曲线上运动.若当点的坐标为时,取得最小值,求实数的取值范围.解析:(1)由题意可得, , 所以, 又, 所以,即.(2)因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称,所以可设.因为在椭圆上,所以有 , , -得 . 又,所以,故的值与点的位置无关,与直线也无关.(3)由于在椭圆上运动,故,且.因为,所以. 由题意,点的坐标为时,取得最小值,即当时,取得最小值,而.故有.解得. 又椭圆与轴交于两点的坐标为、,而点在线段上,即,亦即,所以实数的取值范围是.23(本小题18分)已知等比数列的首项,公比,数列前项和记为,前项积记为.(1)证明:；(2)判断与的大小,并求为何值时,取得最大值；(3)证明:若数列中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为,则数列为等比数列.解:(1),当时,等号成立；同理,当时,等号成立；.(2).又,当时,；当时,.当时,取得最大值,又,的最大值是和中的较大者,又，.因此当时,最大.(3),随增大而减小,