第四章 频率特性分析

控制工程 CAI课件 第四章频率特性分析 4 1频率特性概述4 2频率特性的图示方法4 3闭环频率特性4 4频率特性的特征量4 5最小相位系统与非最小相位系统4 6线性离散系统的频率特性分析 第四章频率特性分析 本章重点 1 频率特性基本概念 代数表示法及其特点 2 频率特性的图示法的原理 典型环节的图示法及其特点 一般系统频率特性的Bode图和Nyquist图的绘制 3 频域中的性能指标 本章难点 1 一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析 2 频率特性指标和时域性能指标之间的基本关系 4 1频率特性概述 一 频率响应与频率特性频率响应 线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应 若输入一谐波信号 则线性定常系统的稳态响应为 如图 a b 所示 例题 例1有传递函数为 的系统 设输入信号 则 因而有 再取Laplace逆变换并整理得 4 1频率特性概述 返回 下页 可知此式中 即为由输入引起的响应 为G s 的极点或系统微分方程的特征根si 时 瞬态分量迅速衰减至零 系统的输出 即为稳态分量 所以系统的稳态响应为 由此可知 它是与输入同频率的谐波信号 相位 显然 频率响应只是时间响应的一个特例 4 1频率特性概述 例1 其中 右边第一项是瞬态分量 第二项是稳态分量 因si为负值 所以系统是稳定的 故随着时间的推移 幅值 返回 上页 2 频率特性 4 1频率特性概述 4 1频率特性概述 2 频率特性 4 1频率特性概述 二 频率特性与传递函数的关系 当输入谐波 时 得 整理可得系统的稳态响应为 根据频率特性的定义可知 系统的幅频特性和相频特性分别为 设系统的传递函数为 4 1频率特性概述 故 就是系统的频率特性 它是将 中的s用 取代后的结果 是 的复变函数 即 式中 是频率特性的实部 称为实频特性 是频率特性的虚部 称为虚频特性 4 1频率特性概述 三 频率特性的求法 根据系统的频率响应来求取 因为 所以 从 的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位 然后 按幅频特性和相频特性的定义 就可分别求得幅频特性和相频特性 4 1频率特性概述 2 将传递函数中的s换为 s 来求取 由上可知 系统的频率特性就是其传递函数G s 中复变量 的特殊情况 例题 3 利用系统的单位脉冲函数来求取 由 有 而当 时 且 故 或 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数 的Fourier变换 即 频率特性是 的频谱 4 1频率特性概述 例2求本节例1所述系统的频率特性和频率响应 解由例1可知 系统的频率特性为 因此 系统的频率响应 返回 4 用试验方法求取 4 1频率特性概述 这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法 根据频率特性的定义 首先 改变输入谐波信号 的频率 并测 出与此相应的输出幅值 与相移 然后 作出幅值比 对频率 的函数曲线 此即幅频特性曲线 作出相移 对频率 的 函数曲线 此即相频特性曲线 由上可知 一个系统可以用微分方程或传递函数来描述 也可以用频率特性来描述 它们之间的相互关系如图4 1 2所示 将微分方程的 微分算子 换成s后 由此方程就可获得传递函数 而将传递函数中的 s再换成 传递函数就变成了频率特性 反之亦然 图示系统的微分方程 传递函数和频率特性相互转换 本节完返回 4 1频率特性概述 图4 1 2关系图 返回 4 2频率特性的图示方法 频率特性的极坐标图 相角 的符号规定为从正实轴开始 逆时针方向旋转方向为正 顺时针方向旋转为负 Nyquist图 如图所示 它不仅表示了幅频特性和相频特性 而且也表示了实频特性和虚频特性 图示频率特性极坐标图 1 典型环节的Nyquist图 4 2频率特性的图示方法 1 比例环节 传递函数为 频率特性为 比例环节频率特性Nyquist图为实轴上的一定点 其坐标为 K j0 如图所示 4 2频率特性的图示方法 2 积分环节 传递函数为 频率特性为 积分环节频率特性Nyquist图是虚轴的下半部 由无穷远点指向原点 具有恒定的相位滞后 如图所示 动画 4 2频率特性的图示方法 3 微分环节 传递函数为 频率特性为 积分环节频率特性Nyquist图是虚轴的上半部 由原点指向无穷远点 具有恒定的相位超前 如图所示 动画 4 2频率特性的图示方法 4 惯性环节 传递函数为 频率特性为 积分环节频率特性Nyquist图是正实轴下的一个半圆 圆心为 K 2 j0 半径为K 2 其幅值随着频率的增大而减小 因而具有低通滤波的性能 如图所示 动画 4 2频率特性的图示方法 5 一阶微分环节 或称导前环节 传递函数为 频率特性为 积分环节频率特性Nyquist图始于点 1 j0 平行于虚轴 是在第一象限的一条垂线 如图所示 4 2频率特性的图示方法 6 振荡环节 传递函数为 频率特性为 振荡环节频率特性Nyquist图始于点 1 j0 而终于点 0 j0 曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率 此时的幅值为 如图所示 取值不同 的Nyquist图的形状也不同 4 2频率特性的图示方法 6 振荡环节 图示不同 取值下的Nyquist图 返回 动画 4 2频率特性的图示方法 7 延时环节 传递函数为 频率特性为 延时环节频率特性的Nyquist图是一单位圆 其幅值恒为1 而相位则随顺时针方向的变化成正比变化 即端点在单位圆上无限循环 如图所示 4 2频率特性的图示方法 2 Nyquist图的一般形状 绘制Nyquist图的概略图形的一般步骤如下 例题 4 2频率特性的图示方法 例1已知系统的传递函数 试绘制其Nyquist图 解 系统的频率特性为 可知 该系统的Nyquist图如图所示 该系统由比例环节 积分环节和惯性环节串联组成 返回 下一例 4 2频率特性的图示方法 例2已知系统的传递函数 试绘制其Nyquist图 解 系统的频率特性为 可知 该系统的Nyquist图如图所示 若传递函数有导前环节 则Nyquist曲线发生弯曲 即相位可能非单调变化 返回 上一例 下一例 4 2频率特性的图示方法 例3已知系统的传递函数 试绘制其Nyquist图 解 系统的频率特性为 返回 上一例 其中 下页 4 2频率特性的图示方法 例3 其Nyquist图如图 返回 上一例 上页 由以上各例可知 系统的频率特性为 4 2频率特性的图示方法 系统的Nyquist图的一般形状如下 4 2频率特性的图示方法 二 频率特性的对数坐标图 4 2频率特性的图示方法 对数坐标图的横坐标表示频率 但按对数分度 单位是弧度 秒或秒 1 对数幅频特性图 的幅值 单位是分贝 记为dB 按线性分度 纵坐标表示 对数相频特性图 纵坐标表示 的相位 单位是度 也是按线性分度 单位dB定义为1dB 20lg 图中简写为20 下图中表示了对数坐标图的坐标系 4 2频率特性的图示方法 图示Bode图坐标系 4 2频率特性的图示方法 1 典型环节的Bode图 1 比例环节 频率特性为 可知 对数幅频特性曲线是一条高度等于20lgK的水平直线 对数相频特性曲线是与 重合的一直线 如图所示 4 2频率特性的图示方法 2 积分环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 20lg 可知 对数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为 20dB dec的直线 对数相频特性曲线在整个频率范围内是一条 如图所示 20lg 20lg 的水平线 4 2频率特性的图示方法 3 微分环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 可知 对数幅频特性曲线在整个频率范围内是一条斜率为20dB dec的直线 对数相频特性曲线在整个频率范围内是一条 如图所示 20lg 20lg 的水平线 4 2频率特性的图示方法 4 惯性环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 可知 对数幅频特性曲线在低频段近似为0dB水平线 在高频段近似是一条斜率为 20dB dec的直线 对数相频特性曲线对称于点 如图所示 为转角频率 4 2频率特性的图示方法 5 一阶微分环节 或称导前环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 可知 对数频率特性曲线与惯性环节呈镜像关系对称于轴 如图所示 为转角频率 动画 4 2频率特性的图示方法 可知 对数幅频特性曲线在低频段是0dB水平线 在高频段是始于点 1 0 斜率为 40dB dec的直线 6 振荡环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 取值不同 的Bode图的形状也不同 4 2频率特性的图示方法 6 振荡环节 图示不同 取值下的Bode图 返回 动画 4 2频率特性的图示方法 7 二阶微分环节 频率特性为 其对数幅频特性和相频特性分别为 可知 对数幅频特性曲线在低频段是0dB水平线 在高频段是始于点 1 0 斜率为40dB dec的直线 对数相频特性曲线对称于点 1 如图所示 4 2频率特性的图示方法 8 延时环节 频率特性为 可知 对数幅频特性曲线是0dB水平线 对数相频特性曲线是一曲线 如图所示 4 2频率特性的图示方法 综上所述 归纳如下 20lg G 0dB 1 图示幅频图 4 2频率特性的图示方法 综上所述 归纳如下 关于对数相频特性 18090450 45 90 180 1 图示相频图 2 绘制系统Bode图的步骤与实例 4 2频率特性的图示方法 将系统传递函数G s 转化为若干个标准形式的环节的传递函数 即惯性 一节微分 振荡和二阶微分环节的传递函数中常数为1的情况 的乘积形式 3 确定各典型环节的转角频率 4 作出各环节的对数幅频特性的渐近线 5 将各环节的对数幅频特性叠加 不包括系统总的增益K 6 将叠加后的曲线向上垂直移动20lgK 得到系统的对数幅频特性 7 作各环节的对数相频特性 然后叠加而得到系统总的对数相频特性 8 由延时环节时 对数幅频特性不变 对数相频特性则应加上 例题 4 2频率特性的图示方法 例3作传递函数为 的系统的Bode图 解 1 将G s 中各环节的传递函数化为标准形式 得 此式表明 系统由一比例环节 K 3 亦为系统的总增益 一个导前环节 二个惯性环节串联组成 2 系统的频率特性 返回 3 求出各环节的转角频率 下页 4 2频率特性的图示方法 例3 返回 4 作各环节的对数幅频特性渐近线 5 除比例环节外 将各环节的对数幅频特性叠加得a 6 将a 上移9 5dB 即20lg3 得系统的对数幅频特性a 7 作各环节的对数相频特性曲线 叠加后得系统得对数相频特性 如图所示 上页 4 2频率特性的图示方法 分析表明 若系统的频率特性为 系统的Bode图具有以下几个特点 4 2频率特性的图示方法 根据上述特点 可以直接绘制系统的对视幅频特性 其一般步骤为 1 将系统传递函数写成标准形式 并求出其频率特性 2 确定各典型环节的转角频率 并由小到大将其顺序标在横坐标轴上 4 过该点作斜率为 20dB dec的斜线 以后每遇到一个转角频率便改变一次斜率 其原则是 如遇惯性环节的转角频率则斜率增加 20dB dec 遇一阶微分环节的转角频率 斜率增加 20dB dec 如遇振荡环节的转角频率则斜率增加 40dB dec 遇二阶微分环节的转角频率 斜率增加 40dB dec 5 如果需要 可根据误差修正曲线对渐近线进行修正 其办法是在同一频率处将各环节误差值迭加 即可得到精确的对数幅频特性曲线 下表列出了五种典型环节的时域响应曲线及频域的Nyquist图与Bode图 本节完返回 4 2频率特性的图示方法 图示五种典型环节的时域 频域曲线 下页 上页 图示五种典型环节的时域 频域曲线 4 3闭环频率特性 对于如图所示单位反馈系统 易知其闭环频率特性与开环频率特性 的关系为 的幅值和相位分别为 的值 则可作出闭环幅频特性图 例题 4 3闭环频率特性 解可得 结果计入下表 并按表绘出的图形 下页 返回 4 3闭环频率特性 例1 图示例题幅频和相频图 上页 返回 4 3闭环频率特性 之间的关系并不丧失问题的一般性 因为一般情况下 显然 此式右边一项是单位反馈系统的频率特性 其前向通道的 本节完返回 4 4频率特性的特征量 在第三章的时域分析中 介绍了衡量系统过渡过程的一些时域性能指标 下面介绍在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量或频域性能指标 频域性能指标也是选用频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统的性能的 4 4频率特性的特征量 本节完返回 4 5最小相位系统与非最小相位系统 一 最小相位传递函数与最小相位系统 最小相位传递函数 在复平面 s 右半面上没有极点和零点的传递函数 非最小相位传递函数 在 s 右半面上有极点和 或 零点的传递函数 最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统 非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统 对于稳定系统而言 根据最小相位传递函数的定义可推知 最小相位系统的相位变化范围最小 4 5最小相位系统与非最小相位系统 这是因为 对于稳定系统 均为正值 可正可负 而最小相位 系统的 均为正值 从而有 对于非最小相位系统 若有q个零点在 s 平面的右半平面 则有 比较以上两个相位表达式可知 稳定系统中最小相位系统的相位变化范围最小 这一结论可以用来判断稳定系统是否为最小相位系统 4 5最小相位系统与非最小相位系统 二 产生非最小相位的一些环节 1 延时环节 2 不稳定的导前环节和二阶微分环节 3 不稳定的惯性环节和振荡环节 关键是从最小相位的定义出发 判断 s 右半平面有没有极点和零点 图示最小相位系统和非最小相位系统 本节完返回 4 6线性离散系统的频率特性分析 得到线性离散系统的频率特性 即 一 对数频率特性 Bode图 例题 4 6线性离散系统的频率特性分析 例1试求下图线性离散系统在T 1s K 1时的