高中数学第二章2.3从速度的倍数到数乘向量例题与探究含解析北师大版必修.docx_第1页
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2.3 从速度的倍数到数乘向量典题精讲例1(安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3,M为的中点，则=_.（用a,b表示）思路解析：把向量放在AMN中，利用三角形法则转化为向量a,b的线性表示.如图2-3-4所示，由=3，得=，图2-3-4=(ab）.在ABM中，=ab，则=-= (ab)-(ab)= ab.答案：ab绿色通道：用已知向量（通常是向量基底）表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.变式训练1如图2-3-5所示，ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a，b表示，和.图2-3-5思路分析：把,和放入三角形中，利用三角形法则或平行四边形法则来解决.解：在ABCD中，=+=a+b, =-=a-b,=-=-(a+b)=-a-b，=（a-b)=a-b,=a+b，=-=-a+b.变式训练2如图2-3-6，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c,d表示和.图2-3-6思路分析：本题可将c,d看作基底，即用基底表示和.解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b，=a.从ABN和ADM中可得，解得即=（2d-c)，=（2c-d).例2如果向量=i-2j,=i+mj,其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.思路分析：向量、有一个公共点，如果它们共线，那么一个向量可以用另一个向量线性表示.解：A、B、C三点共线，即、共线，存在实数使得=,即i-2j=(i+mj).i-2j=i+mj.于是解得m=-2，即m=-2时，A、B、C三点共线.绿色通道：三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.变式训练1(2005山东高考卷，理7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是（ ）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D思路解析：=+=+=（a+2b）+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3,A、B、D三点共线.答案：A变式训练2已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数,使得ke1+e2=(e1+ke2).解：ke1+e2和e1+ke2共线，存在实数，使得ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e1=(k-1)e2.e1和e2不共线，k=1.问题探究问题1点O是平面上一定点，、是平面上不共线的三点，动点满足=+(),0,+).试探求点P的轨迹是否一定过定点？若过定点，定点是什么点？导思：思路一画图并结合向量加法的几何意义；思路二转化为向量共线来探求.探究：=+()，-=().=().设=,=，如图2-3-7所示，图2-3-7则与共线且同向，与共线且同向；和均是单位向量.设=，则
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