几何中的最值问题.doc

中考问题中的几何最值教学设计科 目 数学 设 计 者 白青霞 学校 和庄镇初级中学 授课班级 九四 学生人数 40 课 题_中考问题中的几何最值问题_课 型 复习 授课日期 4.12 一、教材分析（一）、本课时的内容、地位及作用初中数学的最值问题是数学理论研究内容的一个重要部分,它贯穿了整个初中阶段的数学教材,有其广泛的运用价值。现根据自己对教材的理解和掌握对这一问题进行归纳和总结。1线段的最值问题两点间线段最短作为一个数学公理,学生对它的认识还是比较明确的,教材围绕着这一公理所引发的三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。学生也不难领会,教师也会很自然地设计所成三角形的线段长度问题。（二）、本课时的学习目标：学习目标是教学的出发点和归宿。因此，我根据新课标的知识、能力和德育目标的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点来制定教学目标，近年来，最值问题已成了中考压轴题的趋势。它要求学生具有很强的分析能力与综合运用数学知识、数学解题能力。本文以最值题为例，对这类最值问题进行探究。二、学情分析在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长。几何最值问题最短路线问题 几何最值问题通常为最短路线问题的引申,这类问题是考试中的一个热点问题,这类问题本身的特点为解答过程简单,但是思考过程却相对复杂,属于一种能力考查类的题目.这类题解答的关键在于平面内连结两点的线中,线段最短这一原则.通过对称的方式,有效构建不同点的共线,从而找出最短线路.难点处理：等比性质与合比性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。四、学习目标： （一）会运用相关的知识解决几何图形中的最值问题。（二）通过观察、归纳、分析、推理等手段，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣。让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力。（三）培养学生的合作交流意识，培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神。二、教学重点与难点重点：几何图形中的最值问题。难点：会运用相关的知识解决几何图形中的最值问题。三、教学方法：启发引导合作交流四：教具、学具：多媒体课件五、 评价方案设计课堂，只有宝贵的四十分钟，有相当一部分学生注意力不能集中。针对这种情况，从学生身边的生活和已有的知识出发创设情境，目的是让学生感受到生活中处处有数学，激发学生对数学的兴趣和愿望，同时也为抽象出等比性质做好铺垫。让学生自己举例，讨论总结规律，抽象出性质定理，便于学生理解和掌握，期间，多鼓励，少批评。同时，培养和提高了学生的总结归纳能力和抽象能力。因此，针对目标1：我采用课堂提问的方式进行测评；启发学生回忆比例的基本性质并与之相类比，从内容到形式，目的是让学生自主地体会出等比性质、合比性质的真正内涵。针对目标2：在本课时的师生互动过程中，积极创造条件和机会，关注个体差异，我采用课堂提问、背诵、板演、书面练习等多种方式进行测评；让学困生发表见解，使他们有成功的学习体验，激发他们的学习兴趣，增强他们的自信心，提高他们学习的主动性。针对重难点：我采用个体或小组展示、学生板演的方式进行测评；在测评过程中要善于捕捉学生的反馈信息，并能立即反馈给学生，矫正学生的学法和知识错误。力求体现以学生为主体，教师为主导的原则，在轻松愉快的氛围中，顺利地“消化”本节课的内容。同时，让学生体会到“理论来自于实践，而理论又反过来指导实践”的哲学思想。从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力六、教学流程设计一、利用垂线段最短知识链接：直线外一点到直线上各点所连的线段中，垂线段最短如图：P为OA上一点，Q为OB上一动点，在图中表示线段PQ的最小值 探究1：1、如图，OP平分MON，PAON于A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 练一练：在ABC中，AB=AC=5，BC=6，若P在AC上移动，则PB的最小值是 。二、利用两点之间线段最短（最常考）知识链接：如图所示,请在直线L上确定一个点P使A，B到它的距离之和最短,并求距离之和的最小值.探究2：如图，在RtABC中，C=90，B=60，点D是BC边上的点，CD=1，将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是 试一试：1、如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边中线, M是AD上一动点,E 是AC边上一点，若AE=2，EM+CM最小值是 。2、如图，在锐角ABC中，AB=4 BAC=45，BAC 的平分线交 BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 教师重点关注：1学生能否把实际问题准确地转化为数学问题；2学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用；3学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。设计意图：由实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，促使学生能积极地参与到数学活动中去，体会几何图形中的最值问题的解题思想；学生通过小组合作分析、交流，探求几何图形中的最值问题的常见解题思想，培养学生的合作精神，积累学习经验。三、利用动手操作找极限位置求最值探究3：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm则折痕EF的最大值是_cm 试一试：1、如图，在ABC中，ACB=90，A=30，AB=6，点E、F分别在AB、BC上，沿EF将EBF翻折，使顶点B落在AC上，则AE的最大值为_2、动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动 求点A在BC边上可移动的最大距离是_四、利用三角形的三边关系（通常和直角三角形结合）探究4：已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 试一试：如图：MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之边OM上运动，矩形ABCD形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O最大距离为 。设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，是学生已经学习过的知识，为本课的教学起到铺垫的作用。第1题是几何图形中的线段之和的最值问题，第二小题是线段之差的最值问题，两个小题均要运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来解答。本环节是要让学生回顾三角形的相关知识，并且能够在解决实际问题中灵活运用。五、利用动点轨迹判断最值知识链接：圆外一点到圆上的所有点中，与圆心所连线段与圆的交点距离最短（即PB），其延长线与圆的交点距离最长(即PA)探究5：如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC. 则AC长度的最小值是 试一试：1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，点F在AD上运动，将四边形CDFE沿EF折叠，使点C落在矩形内点G处，连接AG，则AG的最小值是 2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值是（）六、利用函数求最值知识链接：不管是一次函数还是二次函数，我们都可以利用函数的增减性求最值。探究6：如图，B=C=90，AB=3，BC=5，点E是BC上一动点，在运动过程中始终保持AED=90,求CD的最大值是 达标测试：如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_2、如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 。3、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，那么使得四边形EPFD为菱形的x的取值范围是 延伸迁移：1、如图，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为1,3,且点F在AD上（1）求SDBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45得图，求图中的SDBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，SDBF存在最大值、最小值直接写出最大值、最小值；2、七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：ABCDPE图3ABl如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点P，使得PA+PB最小图2图1 图4我们只要作点B关于l的对称点B（如图2所示），根据对称性可知，PB=PB因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P 有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， P是BD上一动点连结EP、CP，则EP+CP的最小值是_；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，求点D的坐标；OMAN图5操作：（3）如图5，点A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM、ON上各求作一点B、C组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹） (4)若MON=45，OA=10，则ABC周长最小值为 3、如图,边长为4的正方形ABCD中,AE=CF=1,点G、H分别是边AB,CD上的动点，且AG=CH。（1）判断四边形EGFH的形状；（2）当AG的长为何值时，四边形EGFH是矩形；（3）求四边形EGFH周长的最小值4、正方形 OABC 的边长为 2，其中 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，如图所示，直线 l 经过 A、C 两点（1）坐标系内有一点D（-1,2），点E是直线l上一个动点，求|BE+DE|的最小值及此时点E的坐标。（2）若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，求|BE-DE|的最大值及此时点E的坐标。5、如图甲，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90。当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为_，数量关系为_；当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由；（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值七、板书设计 中考数学中的几何最值问题1、考点解析2. 方法总结3、同类演练4、展示提升5、知识小结作业设计好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和掌握，理清新课脉络。十、教后反思教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。1、要根据学生实际合理的使用教材：线段的比在生活中有着广泛的应用，如工程图纸的设计、地图的绘制、照片的缩放等。学生在前一节课的学习中，已经了解和学习了线段的比和成比例线段。教学时，可先让学生做一些相应的练习题，以巩固上节课所学的内容，接着利用课本引例引入新课。教学中将重点放在理解和掌握比例的基本性质及其简单应用上。2、学生是学习的主人：上课比较活跃是初中学生的一大特点，为了展现学生的才华，调动学生学习积极性，课堂上要充分让学生发扬合作交流的意识，各小组讨论结束后，教师加以总结。总结的内容写在黑板上或利用大屏幕展示。3、改