粒子在复合场计算题

1 1 如图 一匀强磁场磁感应强度为 B 方向垂直纸面向里 其边界是半径为 R 的圆 MN 为 圆的一直径 在 M 点有一粒子源可以在圆平面内向不同方向发射质量 m 电量 q 速度为 v 的 粒子 粒子重力不计 其运动轨迹半径大于 R 1 求粒子在圆形磁场中运动的最长时间 答案中可包含某角度 需注明该角度的正弦或 余弦值 2 试证明 若粒子沿半径方向入射 则粒子一定沿半径方向射出磁场 1 解 1 根据 得 r v mBqv 2 Bq mv r 图中 mv BqR r R sin 根据 得 v r T 2 qB m T 2 运动的最长时间 式中 qB m Tt 2 2 2 mv BqR sin 2 如图所示 沿半径射入 r 与 R 垂直 两三角形全等 而出射速度 v 与轨迹半径 r 垂直 所以出射速度与 R 同一 直线 R r r v v 2 一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B 方向垂直纸面向里的匀强磁场 矩形 区域的左边界 ad 长为 L 现从 ad 中点 O 垂直于磁场射入一速度方向与 ad 边夹角为 30 大 小为 v0的带正电粒子 如下图所示 已知粒子电荷量为 q 质量为 m 重力不计 1 若要求粒子能从 ab 边射出磁场 v0应满足什么条件 2 若要求粒子在磁场中运动的时间最长 粒子应从哪一条边界处射出 出射点位于该边界上 何处 最长时间是多少 2 解 1 当粒子轨迹恰好与 cd 边相切时 是粒子能从 ab 边射出磁场区域时轨迹圆半径最大 的情况 设此半径为 R1 如图甲所 示 则有 1 0 1 2 60cosR L R 可得 LR 1 当粒子轨迹恰好与 ab 相切时是 粒子能从 ab 边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况 设此半径为 R2 如图乙所示 则有 得 2 30sin 2 0 2 L RR 3 2 L R 故粒子从 ab 边射出的条件为 即 12 RRR LR L 3 根据 得 R v mBqv 0 0 m qBR v 0 所以 m qBL v m qBL 0 3 2 因为 Bq m Tt 2 所以粒子运动所经过的圆心角越大 粒子在磁场中运动时间越长 从图中可以看出 如果粒 子从 cd 边射出 则圆心角最大为 60 若粒子从 ab 边射出 则圆心角最大为 240 粒子从 ad 边射出 圆心角最大为 360 60 300 由于磁场无右边界 故粒子不可能从右侧射出 综上所述 为使粒子在磁场中运动的时间最长 粒子应从 ad 边射出 如图乙所示 设出射 点到 O 的距离为 x 从图中可以看出 P 点是离 O 距离最大的出射点 3 30sin2 0 2 L RPO 则 即出射点到 O 的距离不超过 3 L x 3 L Bq m Bq m Tt 3 52 3 5 2 1 2 max max 3 长为L的平行金属板水平放置 两极板带等量的异种电荷 板间形成匀强电场 平行金属板 的右侧有如图所示的匀强磁场 一个带电为 q 质量为m的带电粒子 以初速v0紧贴上板垂直 于电场线方向进入该电场 刚好从下板边缘射出 射出时末速度恰与下板成30o角 出磁场时刚 好紧贴上板右边缘 不计粒子重力 求 1 两板间的距离 2 匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度 解 1 带电粒子在电场中受到电场力的作用发生偏转 做类平抛运动 竖直方向 离开电场时的速度vy v0tan30 粒子发生偏转的位移 t v dy 2 y 水平方向 粒子匀速运动的时间 0 v L t 联立以上几式解得 6 3L d 2 在电场中粒子受到电场力 由牛顿第二定律得 qE ma 根据运动学公式有 vy at 又因为粒子运动时间t 0 v L 所以 qL mv E 3 3 2 0 带电粒子在磁场中做圆周运动 洛伦兹力提供向心力 即 r v mqvB 2 粒子离开电场时的速度 22 y0 vvv 粒子在磁场中的运动轨迹如右图所示 由几何关系得 解得 30 2 cosr d qL mv B 0 34 4 如图所示 坐标平面第 象限内存在大小为 E 4 105N C 方向水平向左的匀强电场 在第 象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场 质荷比为N C 的带正电粒子从 x 轴 10 104 q m 上的 A 点以初速度 v0 2 107m s 垂直 x 轴射入电场 OA 0 2m 不计重力 求 1 粒子经过 y 轴时的位置到原点 O 的距离 2 若要求粒子不能进入第三象限 求磁感应强度 B 的取值范围 不考虑粒子第二次进入 电场后的运动情况 解 1 设粒子在电场中运动的时间为 t 粒子经过 y 轴时的位置与原点 O 的距离为 y 则 2 2 1 atSOA m F a q F E 0 yv t 解得 a 1 0 1015m s2 t 2 0 10 8s 0 4ym 2 粒子经过 y 轴时在电场方向的分速度为 atvx sm 102 7 粒子经过 y 轴时的速度大小为 2 0 2 vvv x sm 1022 7 AO E x y v0 AO E x y v0 v O1 与 y 轴正方向的夹角为 450 0 v v arctg x 要粒子不进入第三象限 如图所示 此时粒子做圆周运动的轨道半径为 R 则 2 2 RRy 由 2 v qvBm R 解得 2 2 22 10BT 5 15 分 如图所示 一个质量为 m 2 0 10 11kg 电荷量 q 1 0 10 5C 的带电微粒 重力忽 略不计 从静止开始经 U1 100V 电压加速后 水平进入上板带正电 下板带负电的两平行金 属板间的偏转电场 偏转电场的电压 U2 100V 金属板长 L 20cm 两板间距 d cm 求 310 微粒进入偏转电场时的速度 v0大小 微粒射出偏转电场时的偏转角 若该匀强磁场的宽度为 D 10cm 为使微粒不会由磁场右边射出 该匀强磁场的磁感应 强度 B 至少多大 5 微粒在加速电场中由动能定理得 3 分 解得 v0 1 0 104m s 1 分 2 01 2 1 mvqU 微粒在偏转电场中做类平抛运动 有 1 分 md qU a 2 1 分 0 v L aatvy 飞出电场时 速度偏转角的正切为 2 分 解得 30o 1 分 3 1 2 tan 1 2 0 dU LU v vy 进入磁场时微粒的速度是 1 分 cos 0 v v 轨迹如图所示 由几何关系有 2 分 sinrrD 洛伦兹力提供向心力 1 分 r mv Bqv 2 解得 1 分 代入数据解得 B 5 0 346T 1 分 cos sin1 0 qD mv B 3 所以 为使微粒不会由磁场右边射出 该匀强磁场的磁感应强度 B 至少为 0 346T B 0 35T 照样给分 6 20 分 竖直面内有一绝缘光滑水平轨道 末端放置一荷质比为滑块 在KgC m q 10 1 P 离的距离为处的虚线右边有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁 1 PmL3 10 3 PE 场 已知 如图所示 现有一个质量与相同且不带电的滑块以BCNE 2 TB 9 32 1 P 2 P 水平速度向右运动 与发生碰撞后粘在一起共同运动 两滑块可视为质点 smv 32 0 2 P 1 P 计算时取 求 2 10smg 1 滑块与碰撞后的速度 2 P 1 P 1 v 2 滑块从碰撞后到离开磁场所用的时间t P P1P2 L E B 6 解 1 与碰撞前后系统动量恒有 2 分 2 P 1 P 10 2mvmv 由此得 1 分 sm m mv v 3 2 0 1 2 碰撞后二者一起平抛 水平方向有 1 分 11t vL 竖直方向速度 1 分 1 gtvy 由此得 1 分 s v L t3 0 1 1 1 分 smvy 3 从而 1 分 3 3 tan 1 y v v 0 30 1 分 smvvv y 32 22 12 显然 滑块在电磁场中受电场力 2 分 mgEq2 故滑块在 P 的右边做匀速圆周运动 此时有 2 分 2 2 2 2 v qv Bm r 由此得 其圆心位置如图所示 2 分 2 2 1 8 mv rm qB 2 23 3 5 r Ts v 由对称性可知粒子圆周运动时转过的角度 1 分 00 3002360 所用时间 3 分 121 0 3 0 3 3s 3602 ttttTs P1P2 L E B 图 M N v2 1 分 7 2011 广州模拟 如图所示 竖直平面 xOy 内 存在水平向右的匀强电场 场强大小 E 10 N C 在 y 0 的区域内还存在垂直于坐标平面向里的匀强磁 场 磁感应强度大小 B 0 5 T 一带电量 q 0 2 C 质量 m 0 4 kg 的小球由长 l 0 4 m 的细线悬挂于 P 点 小球可视为质点 现将小球拉至水平位置 A 无初速度释放 小球运 动到悬点 P 正下方的坐标原点 O 时 悬线突然断裂 此后小球又恰好能 通过 O 点正下方的 N 点 g 10 m s2 求 1 小球运动到 O 点时的速度大小 2 悬线断裂前瞬间拉力的大小 3 ON 间的距离 7 解析 1 小球从 A 运动到 O 的过程中 由动能定理得 2 1 mv mg qE 2 ll 解得小球在 O 点速度为 qE v 2 g 2 m s m l 2 小球运动到 O 点悬线断裂前瞬间 对小球由牛顿第二定律得 2 向T洛 v F F mg F m l F洛 Bvq 联立 式解得 2 T mv F mg Bvq 8 2 N l 3 悬线断后 小球水平方向加速度 2 x Eq a 5 m s m 小球从 O 点运动至 N 点电场力做功为零 则小球在 N 点水平方向上的速 度大小仍为 2 m s 所用时间 xx v2v t0 8 s aa ON 间距离 2 1 hgt3 2 m 2 答案 1 2 m s 2 8 2 N 3 3 2 m 8 2011 南开区模拟 如图所示 竖直平面内有相互垂直的匀强电场 和匀强磁场 电场强度 E1 2 500 N C 方向竖直向上 磁感应强度 B 103 T 方向垂直纸面向外 有一质量 m 1 10 2 kg 电荷量 q 4 10 5 C 的带正电小球自 O 点沿与水平线成 45 角以 v0 4 m s 的 速度射入复合场中 之后小球恰好从 P 点进入电场强度 E2 2 500 N C 方向水平向左的第二个匀强电场中 不计空气阻力 g 取 10 m s2 求 1 O 点到 P 点的距离 s1 2 带电小球经过 P 点的正下方 Q 点时与 P 点的距离 s2 8 解析 1 带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力 G mg 0 1 N 电场力 F1 qE1 0 1 N 即 G F1 故带电小球在正交的电磁场中由 O 到 P 做匀速圆周运动 根据牛顿第二定律得 2 0 0 v qv Bm R 解得 2 0 53 mv1 104 Rm 1 m qB4 1010 由几何关系得 1 s2R2 m 2 带电小球在 P 点的速度大小仍为 v0 4 m s 方向与水平方向成 45 角 由于电场力 F2 qE2 0 1 N 与重