含参变量有限积分的计算.doc

数学分析选讲课程论文课程论文题 目 学生姓名 毛文龙 所在院系 理 学 院 指导教师 职 称 完成日期 2011年6月20日- 13 -含参变量有限积分的计算1、 引言含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。2、 定义及性质 1.积分限固定的情形定义 设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在。都对应唯一一个确定的积分（值）。于是，积分是定义在区间的函数，表为，称为含参变量的有限积分，称为参变量。性质1(连续性) 设函数在矩形域连续，则函数在区间也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意，。同理可证，若在矩形域上连续，则含参变量的积分也在区间上连续。性质2(可微性) 若函数及其偏导数在矩形区域上连续，则函数在区间可导，且，有。 说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。（积分号下求导定理）性质3(可积性) 若函数在矩形区域连续，则在区间上可积，且表明定义在举行区域上的连续函数，关于不用变数的积分（简称累次积分）可交换积分次序。推论 在闭矩形域上连续函数，其累次积分可交换求积顺序。2积分限变动的情形性质4(连续性) 若函数在矩形区域上连续，函数，在上连续，并且，则在上连续。性质5(可微性) 若，都在矩形区域上连续，函数，在上可微，且满足，则函数在上可微，且有。三、基本方法1.含参变量有限积分的基本计算方法1.交换积分顺序例 求。解 由被积函数的特点想到积分，所以 ，在上连续。方法2.换元法例 若函数连续，且，求。解 做换元，则 ，所以题意条件就被变形为，等式两边对求导，得，即，令，得 。方法3.先求导再积分例 计算，。解 因为，利用万能公式，在上式中令有， 。于是 ，积分得到 ，显然，从而，即 。方法4.积分号下求导法求积分例 计算，。解 令，则当时，无定义，但，故补充定义，则在连续，从而在连续，有，显然在点不连续，但分别在和连续。故有，或，令，得 ，或。积分得，； ，。因为在连续，故 。得，从而得 ，。方法5.含多个参变量情形的讨论例 计算，解 将视作参变量，视作常数，则 ， 。当时，；当时，做代换，得 。将积分，得。再令,则。但 ，所以 ，于是 ，如果或，则可化为且的情形，于是。2.含参变量的变上限积分函数的计算习惯上，我们称为“含参变量的变上限积分函数”，还有更复杂一点的形式是，对于这一类函数的相关计算，主要分为求积分、求导、求极限三类。方法1.运用公式直接计算例 设，求。解 设，则，因，在上连续，所以，由可微性定理得 。3.含参变量的变上限积分函数的求导这类函数在求导时导数不能只考虑上下限是变量，如果简单地把函数的导数写成是极为错误的，因为这里在被积函数里还含有“参变量”。这一类求导问题是考研的热门问题，有些辅导班和辅导教材，专门介绍“数学分析”里的“含参变量的变上限积分函数”求导的莱布尼茨公式，殊不知这样的解法是朝纲的，不被阅卷老师认可的。按照工科考研要求，只能把被积函数里含有的“参变量”设法“弄到”积分号外面。方法1.先分部积分再求导计算。例 设，求。解 。方法2.积分号下求导。例 求函数的导数。解 ，暂时固定，使得。易见见函数及其偏导数在上连续。并且，和在可导。故由定理知可导，则有 。方法3.先定理展开在求导例 设，求。解 。方法4.先换元简化再求导。例 若是连续函数，求。分析 对于函数进行求导，我们能不能先求导再积分？即。回答：肯定不行！因为：（1）不满足莱布尼茨公式的条件，即不满足是连续函数。（2）即使满足莱布尼茨公式的条件，考研试卷上如果使用这样的方法，阅卷时时得不到承认的。所以，要想方设法把中被积函数中的从积分号里往外搬。解 令，则，和对应于和，所以 ， 。方法5.换元法求二阶导。例 设为连续函数，求。解 令，则，。在第一项中令，在第二项中令，则，。4.含参变量有限积分函数的极限方法1.连续性定理求极限例 求。解 因为在区域上连续，因此 。方法2.换元法简化再求极限。例 若连续，且，存在，求。解 分子上的积分做积分变量的换元，则 。再作极限变量的换元，令，便得到原式。方法3.洛必达法则例 求下列极限（1）； （2）。解 （1）注意到时，用洛必达法则有 。（2）当时， 。四、问题延伸1.引入参变量求定积分例 求。解：此积分直接计算很难，形式上又不是含参变量的积分。方法1 因为 ，所以 。又因为函数在上连续，故可交换积分顺序。于是 ，又 ，带入上式得 。于是 。方法2 考虑含参变量的积分。函数及其关于的偏导数在上连续。根据可微性定理有 。将上式两端对从到积分，得 。显然，。故有 。2.相关计算类证明例1 设函数连续，证明函数有二阶导数，。证明 。则，。例2 设函数连续，。证明：。分析 这里要把被积函数里含有的“参变量”设法弄到积分号外面去，只有作换元了。注意在积分的过程中，是积分变量，是与积分变量无关的常量。证明 作换元时，所以 。例3 设函数可导，且，。证明：。分析 极限是型的待定型，要对分子 进行求导，如前所说，我们不能光注意到积分上限是变量，还要注意到在被积函数里也明显含有的自变量。但被积函数里的这个，在积分的过程中是与积分变量无关的常量。为了要把被积函数里含有的“参变量”设法弄到积分号外外面去，最适合的换元就是：令因为。证明 令，则有，即，于是。那么。参考文献1王国灿，郑成德 简明数学分析M 大连：大连交通大学出版社，2孙清华，李相鹏等 工科数学分析习题与例题解析 武汉：华中科技大学出版社，2002.3刘书田，孙惠玲等 微积分阶梯方法与技巧 北京：北京大学出版社，2006.4东北三省高师函授数学分析协编组 数学分析 吉林：吉林人民出版社，1984.5刘玉琏，傅沛仁 数学分析讲义 北京：人民教育出版社，1982.课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题 目评 审 者考 核 项 目评分指导教师1平时态度与遵守纪律的情况