《花边有多宽(第一课时)》教学设计

变量与函数教学设计山西省阳泉市平定县南坳中学 赵军才一内容和内容解析本节教学内容源于人教版初中数学义务教育课程标准实验教材八年级上册第十四章一次函数的14.1 变量与函数.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题.函数正是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际，反映的是变量之间的单值对应规律；它在对数量关系和空间形式的研究中发挥了巨大作用，在当今数学的各个领域都是极为重要的角色.函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系.变化与对应思想正是本章内容中蕴涵的基本思想.所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：1世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；2在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系.函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要.它是以变化与对应的思想为基础的数学概念.函数概念的实质就是运动变化与联系对应.基于上述分析，确定本节的教学重点是：以实际问题为学习背景，探索具体问题中的数量关系和变化规律，初步理解函数的概念.函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，因此，函数概念的形成过程也是本节的难点.二目标和目标解析1了解常量、变量的概念，能分清实例中的常量与变量；2结合实例，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想.世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系，这就是“变化与对应”的思想；3以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，正确地理解问题情境，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；三教学问题诊断就学生而言，在前学段的学习中已经对“用字母表示数”和方程中的未知数的含义都有了较深理解，同时初步具备分析和解决各种简单实际问题的能力，也初步体会到建模的数学思想，但对客观世界中现存的大量的运动变化问题还不甚了解，特别是对同一变化过程中变量之间存在的对应关系更是难以理解，对“函数”这个抽象性强的概念的接受和理解就会有很大难度；教师可能出现的问题：1对“函数”的含义和“变化与对应”数学思想的理解不够深刻，认识上不到位；2用以理解“函数”概念和“变化与对应”思想的实际事例没有很好地贴近学生的生活，致使学生不能很好地正确地理解问题情境；3不能通过设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学活动，达到真正理解“函数”概念的目的，过分强调知识的获得，忽略了“变化与对应”数学思想的揭示.本节教学内容遵循“问题情境建立模型对比分析揭示本质”的模式.理解函数的基本概念，其问题的关键是如何从实际问题情境中抽象出数学问题，从而建立数学模型，重点是理解函数的本质.鉴于上述分析，确定本节课的教学难点是：理解函数的概念.四教学支持条件分析以问题串的方式，通过PPT恰当的呈现形式，帮助学生准确地从实际问题中抽象出数学问题，以问题引导进行分析与研究，更好地揭示函数的本质，理解“变化与对应”的数学思想，形象、直观，提高课堂教学效率.五教学过程设计（一）创设问题情境，揭示变量与常量的含义问题一：一辆汽车以60千米小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米行驶时间为t小时先填写下表，再试用含t的式子表示s.t/时12345s/千米设计目的：该问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程，旨在让学生初步体会变化过程中的某些量是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s；有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米小时，同时初步体验数学建模的思想.活动方式：学生思考并完成上述问题，小组交流意见，然后回答学生解答：表中依次填写：60，120，180，240，300；关系式为：s=60t.问题二：每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y?在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设物体质量为m kg,受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含有m的式子表示l？设计目的：挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生进一步经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验.活动方式：独立思考，小组交流，个别回答，教师引导学生通过合理正确的思维方法探索出变化规律学生解答：1早场电影票房收入：15010=1500（元）；日场电影票房收入：20510=2050（元）；晚场电影票房收入：31010=3100（元）； 关系式：y=10x2挂1kg重物时弹簧长度： 10.5+10=10.5（cm）；挂2kg重物时弹簧长度：20.5+10=11（cm）；挂3kg重物时弹簧长度：30.5+10=11.5（cm）；关系式：l=0.5m+10问题三： 1要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r？2用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形长度观察长方形的面积怎样变化记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律：设长方形的长度为xcm，面积为Scm2怎样用含有x的式子表示S？设计目的：通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息.出于从具体到抽象地认识事物的考虑而设计了上述5个问题.这些问题的内容有物理问题、销售问题、几何问题等，问题的形式有填表、求值、写解析式等，都含有变量之间的单值对应关系，通过讨论这些问题不仅可以引出常量与变量的概念，而且也为后面引出变量间的单值对应关系进而学习函数的定义作了铺垫.围绕学生比较熟悉其背景的几个例子，系统地认识有关概念，有助于认识相关概念之间的联系和区别.活动方式：独立思考，小组合作，教师引导的方式进行.学生解答：1要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=r2 r=面积为10cm2的圆半径r=178（cm）； 面积为20cm2的圆半径r=252（cm） 关系式：r2因长方形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm 若长为1cm，则宽为5-1=4（cm） 据长方形面积公式：14=4（cm2） 若长为2cm，则宽为5-2=3（cm） 面积 2（5-2）=6（cm2） 若长为xcm，则宽为（5-x）（cm） 面积 S=x（5-x）=5x-x2（cm2）教师小结：上述问题反映了不同事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y）的值是按照某种规律变化的在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量（constant）如上述问题中的速度60千米/时票价10元，弹簧原长10cm及长方形的长、宽之和5cm都是常量随堂练习:请具体指出上述问题中，哪些是变量，哪些是常量？设计目的：在具体的问题情境中认识变量和常量，加深对变量和常量的理解.学生解答：问 题关系式常 量变 量（1）中s=60t速度60千米/时时间t小时，里程s千米（2）中y=10x单价10元票数x张，收入y元（3）中l=0.5m+10弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm质量m kg，长度l cm（4）中r圆周率半径r，面积S（5）中S=x（5-x）=5x-x2长与宽的和5cm边长xcm，面积Scm2（二）引导总结规律，理解函数概念；问题四：上述各问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么关系？也就是说当其中一个变量取定一个值时，另一个变量是否也随之有唯一的对应值呢？设计目的：在教师的引导下，经历从具体到抽象的认识过程，理解变化过程中有两个变量，且变量之间的存在这单值对应关系，为进一步揭示函数的概念奠定基础.活动方式：教师引导，学生归纳，师生小结.教师引导：先观察问题一，观察填出的表格发现：该问题中存在两个变量时间t小时和里程s千米，并且每当行驶时间t取定一个数值，行驶里程s就随之确定一个值，例如t=1，则s=60；t=2，则s=120t=5，则s=300.再来看问题二中的两个小问题，均满足上述特点：问题（1）中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值例如早场x=150，则y=1500；日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度l就随之确定一个值如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长05cm当m=10kg时，则l =15cm，当m=20kg时，则l =20cm继续验证，观察问题三中的两个问题，看看它们中的变量又怎样呢？问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=178cm；当S=20cm2时，r=252cm每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个长方形的一边长，即可得出另一边长，再计算出长方形的面积如：当x=1cm时，则S1（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则S2（5-2）=6cm2它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2因此可知，每当长方形长度x取定一个值时，面积S就随之确定一个值由以上观察，我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有_（唯一确定的值与它对应）问题五：思考下列用图表和表格表达的问题中，两个变量之间是否同样存在上述关系？（1）下图是体检时的心电图其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份人口数亿198410.34198911.06199411.76199912.52设计目的：通过表格和图象等多种形式深入体会函数中存在两个变量，以及变量之间的单值对应关系，一方面有助于全面地了解变量之间的单值对应关系，进而形成对函数的较全面的认识；另一方面也为后面学习函数的三种表示方法进行了适当的准备.活动方式：思考后由学生个别作答.学生解答：通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y教师小结：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=150，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数当x=1999时，函数值y=1252亿（三）深入理解函数概念，提高问题解决能力：活动一判断下列问题中的变量之间是否存在函数关系.1在计算器上按照下面的程序进行操作： 填表：x13-40101y 显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2在计算器上按照下面的程序进行操作 下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：x 1230-1y 3572-1所按的第三四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）设计目的：通过探究这样的问题可以引导学生以函数的观点重新认识已经学习过的数学内容.活动方式：小组讨论，得出结果.学生解答：1从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯一的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数2从表中两行数据中不难看出第三四按键是这两个键，且每个x的值都有唯一的一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数关系式是：y=2x+1活动二例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km1写出表示y与x的函数关系式2指出自变量x的取值范围3汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？设计目的：本节的例1包括三个小题，它们的要求分别为写函数解析式、指出自变量的取值范围和计算函数值.目的是要加强联系实际，同时也使现在所学的内容与前面所学的不等式内容联系起来，以旧带新.活动方式：独立完成，小组交流，引导解答.学生解答：1行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数 行驶里程x时耗油为：0.1x（L） 油箱中剩余油量为：(50-0.1x)L 所以函数关系式为：y=50-0.1x2仅从式子y=50-0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x50，x500因此自变量x的取值范围是：0x5003汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x200时的函数值，将x=200代入y=50-0.1x得： y=50-0.1200=30所以，汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油六目标检测设计下列问题中