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线段的垂直平分线 2 4 第1课时 如图 人字形屋顶的框架中 点A与点A 关于线段CD所在的直线l对称 问线段CD所在的直线l与线段AA 有什么关系 我发现 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图 已知点A与点A 关于直线l对称 如果沿直线l折叠 则点A与点A 重合 AD A D 1 2 90 即直线l既平分线段AA 又垂直线段AA l A A D 2 1 A 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 由上可知 线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴 如图 在线段AB的垂直平分线l上任取一点P 连接PA PB 线段PA PB之间有什么关系 作关于直线l的轴反射 即沿直线l对折 由于l是线段AB的垂直平分线 因此点A与点B重合 从而线段PA与线段PB重合 于是PA PB 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 由此得出线段垂直平分线的性质定理 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 反过来 如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等 那么点P在线段AB的垂直平分线上吗 1 当点P在线段AB上时 因为PA PB 所以点P为线段AB的中点 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上 2 当点P在线段AB外时 如下图所示 因为PA PB 所以 PAB是等腰三角形 过顶点P作PC AB 垂足为点C 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线 即PC AB 且AC BC 因此直线PC是线段AB的垂直平分线 此时点P也在线段AB的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理 例已知 如图 在 ABC中 AB BC的垂直平分线相交于点O 连接OA OB OC 求证 点O在AC的垂直平分线上 举例 证明 点O在线段AB的垂直平分线上 OA OB 同理OB OC OA OC 点O在AC的垂直平分线上 1 如图 在 ABC中 AB的垂直平分线分别交AB BC于点D E B 30 BAC 80 求 CAE的度数 答 CAE 50 2 已知 如图 点C D是线段AB外的两点 且AC BC AD BD AB与CD相交于点O 求证 AO BO 证明 AC BC AD BD CD为线段AB的垂直平分线 又AB与CD相交于点O 如图 在 ABC中 BC 8cm AB的垂直平分线交AB于点D 交边AC于点E BCE的周长等于18cm
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