28.4垂径定理

垂径定理 枣强三中李桂香 复习 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 问题情境 在自己课前准备的纸片上作图 1 任意作一条弦AB 2 过圆心O作弦AB的垂线 得直径CD交AB于点E 3 观察图形 你能找到哪些线段相等 哪些弧相等 4 沿着CD所在的直线折叠 观察有哪些相等的线段 弧 5 图形中的已知是什么 你得到的结论是什么 你能写出你的证明过程吗 已知 如图所示 在 O中 CD为直径 AB为弦 且CD AB 垂足为E 求证 AE BE 证明 如图所示 连接OA OB 在 OAB中 OA OB OE AB AE BE AOE BOE AOC 180 AOE BOC 180 BOE AOC BOC O A B C D E 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 CD AB 垂径定理的推论 AB是 O的一条弦 且AM BM 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 过点M作直径CD 下图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 发现图中有 CD是直径 AM BM 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 如图所示 在 O中 直径CD与弦AB 非直径 相交于点E 思考 若 或 能判断CD与AB垂直吗 AE与BE相等吗 说明你的理由 CD AB AE BE 理由是 AOD BOD 又 OA OB OE OE AEO BEO AEO BEO AE BE CD AB 知识拓展 综上所述 可以知道在 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项 就可以推出另外三项 简称 5 2 3 定理或 知二推三 1 同心圆O中 大圆的直径AB交小圆于点C D 请问AC BD吗 2 如果把AB向下平移 弦AB仍然交小圆于点C D 此时图中还有哪些相等的线段 为什么 应用 若两圆半径分别为5cm和 弦AB 8cm 则AC cm 1 在圆中研究有关弦的问题时 常过圆心作垂直于弦的垂线段 利用垂径定理来证明线段相等 弧相等 利用勾股定理列方程进行计算 例1 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径OB 10 水面宽AB 16 求截面圆心O到水面的距离 D C 10 8 8 解 作OC AB于C 由垂径定理得 AC BC AB 16 8由勾股定理得 答 截面圆心O到水面的距离为6 12 12 排水管中水最深是多少 6 CD OD OC 10 6 4 变式一 若已知排水管的半径OB 10 截面圆心O到水面的距离OC 6 求水面宽AB 变式二 若已知排水管的水面宽AB 16 截面圆心O到水面的距离OC 6 求排水管的半径OB D C 10 8 8 6 例1 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径OB 10 水面宽AB 16 求截面圆心O到水面的距离 若弦心距为d 半径为R 弦长为a 则这三者之间有怎样的关系 d R a2 d2 2 R2 2 a 解 如图 设半径为R 在 t AOD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m 问题情境 赵州桥主桥拱的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 AB 37 4 CD 7 2 R 18 7 R 7 2 本节课小结 垂径定理是解决有关弦及弧的问题的依据 见弦作垂径 见弦作弦心距 连半径是几种重要的辅助线 定理中