数学人教版九年级上册垂直于弦的直径教学设计.doc

垂直于弦的直径教学设计何寨初级中学 曹娟红一、 教材依据 新人教版九年级上册第二十四章圆第24.1.2节二、设计思想本节是圆这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等及垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。通过本节课的教学，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，并学会运用这些结论解决实际问题；同时，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。三、教学目标1、知识技能：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性。掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。2、数学思考与问题解决：经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。3、情感态度：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。四、教学重点垂径定理、推论及其应用。五、教学难点垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。六、教学准备圆形纸片 圆规，三角尺，课件七、教学过程（一）、创设情境，引入新知1、如何验证两点关于一条直线对称？2、什么是轴对称图形?什么是弦，直径与弦的关系？（学生口述）3、圆有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（通过找圆心的小游戏，学生发现圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线）4、观察并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？（二）、合作交流，探究新知知识点一：圆的轴对称性活动1：小游戏 ：找圆心 学生活动：拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？议一议：为什么？教师活动：教师用电脑演示折叠的过程，引导学生发现结论。结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线(过圆心的每一条直线）都是它的对称轴圆也是中心对称图形，其对称中心是它的圆心。知识点二：垂径定理 活动2：猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CDAB时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，当CDAB时，弦AB会被直径CD平分。3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD是O的直径，AB是O的弦，且ABCD，垂足为M。求证：AE=BE。4、思考：图中还有哪些数量关系（直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等）？如何证明？5、给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。6、结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言：题设 CD是直径 CDAB （CD过圆心） 结论 AE=BE 活动3、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。例1：在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧?知识点3、垂径定理的推论1、做一做：如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点E2、想一想，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）图中，线段AB和CD有怎样的位置关系？ （3）你能发现图中有哪些等量关系？ CD是直径 可推出 ABCD由 AE=BE 3、结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。知识拓展：知二得三我们发现：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：对于一个圆和一条直线来说，如果具备以下五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质，即知二得三 五个性质为：经过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧。（三）、例题例2：判断是非（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。（ ）（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。（） （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。（）（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（）（5）分别过弦的四等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别四等分。（） 例3：作图如图，你能用今天所学的知识平分弧AB吗？试着做一做。 （四）、能力提升，解决实际问题例4：如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径例5：后勤刘师傅遇到了一件麻烦事，由于下雨导致我校一处 圆形下水道破裂，他准备要换新管道，但只知道污水水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，你能帮助刘师傅计算一下他应该准备内径多大的管道吗？ 分析：把实际问题转化成数学问题如图，已知AB=60cm,CD=10cm,求O的直径。方法指导：链接AO，在AOD中利用勾股定理求出半径AO即可。（学生在练习本完成） （五）、课堂小结请围绕以下三个方面小结本节课：1、这节课我们学习了哪些主要内容？你还有什么困惑？ 、应用垂径定理要注意哪些问题？垂径定理的条件和结论： 经过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧3、将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了。（六）、作业设计 1.熟记并理解垂径定理及其推论2.思考：如何四等分一段弧？3.利用本节所学内容解决课本赵州桥问题（过程写在作业本上）八、教学反思：数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，