3.1.1空间向量及其加减运算

复习平面向量 1 什么是平面向量的定义 2 平面向量如何表示 3 什么是相等的向量 认真回顾已学知识 1 既有大小又有方向的量叫向量 2 向量有两种表示方法 几何表示法 用有向线段表示 字母表示法 用字母等或者用有向线段的起点与终点字母AB表示 3 长度相等且方向相同的向量 解答 平面向量的加减运算 看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量 但他们有些并不在同一平面内 这就是我们今天要学习的空间向量 3 1 1空间向量及其加减运算 知识要点 1 空间向量在空间 我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 spacevetor 向量的大小叫做向量的长度或模 modulus 2 空间向量的表示 1 我们规定 长度为0的向量叫做零向量 zerovector 记为0 当有向线段的起点A与终点B重合时 AB 0 2 模为1的向量称为单位向量 unitvector 3 两个向量不能比较大小 因为决定向量的两个因素是大小和方向 其中方向不能比较大小 3 相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量 称为a的相反向量 记为 a 4 相等向量 equalvetor 方向相同且模相等的向量称为相等向量 1 空间的一个平移就是一个向量 2 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 3 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 结论 空间任意两个向量都是共面向量 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示 知识要点 1 空间向量的加减运算由于任意两个空间向量都能平移到同一空间 所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同 加法 OB OA AB a b 减法 CA OA OC a b 2 空间向量的加法运算律 1 加法交换律a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 你能证明下列性质吗 证明加法交换律 因为OA CB aAB OC b所以a b b a 证明加法结合律 因为OC OB BC OA AB BC a b cOC OA AC OA AB BC a b c 所以 a b c a b c 4 扩展 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 2 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 即 1 空间向量的运算就是平面向量运算的推广 2 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 3 空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加 3 对空间向量的加减法的说明 5 什么是平行六面体 它与平行四边形有何联系 它的特征有哪些 平行六面体ABCD A1B1C1D1的六个面都是平行四边形 5 平行六面体 定义1 底面是平行四边形的四棱柱 定义2 平行四边形ABCD按向量平移到A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体 例 课本 探究 如图 在平行六面体ABCD A B C D 中 分别标出表示的向量 解 同起点的不共面三个向量的和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的对角线向量 起点与这三个向量的起点相同 已知平行六面体ABCD A B C D 化简下列向量表达式 并标出化简结果的向量 例题 解答 2 设M是线段CC 的中点 则 4 设G是线段AC 靠近点A的三等分点 则 G 继续 1 空间向量的概念 在空间 具有大小和方向的量 2 空间向量的加减运算 空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则 3 空间向量的加法符合交换律 结合律 4 平面向量与空间向量 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内 成为同一平面内的向量 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题 平面向量中有关结论仍适用于它们 1 选择平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC和BD的交点 若 a b c 则下列式子中与相等的是 解答 故该题选A 2 解答题 1 在空间四边形ABCD中 点M G分别是BC CD边的中点 化简 解答 2