2.7正多边形与圆

2 7正多边形与圆 第2章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 了解正多边形与圆的有关概念 2 理解并掌握正多边形半径和边长 边心距 中心角之间的关系 会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形 重点 导入新课 情境引入 问题1观察下面多边形 它们的边 角有什么特点 它们的各边都相等 各内角也相等 讲授新课 各边相等 各内角也相等的多边形叫做正多边形 如果一个正多边形有n n 3 条边 那么这个正多边形叫做正n边形 概念学习 1 如图 矩形ABCD是正四边形吗 2 如图 菱形ABCD是正四边形吗 图 图 理由 ABBC CDDA 理由 A B C D 判一判 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 探究归纳 同理 解 AB BC CD DE EA B C D E A B 五边形ABCDE是正五边形 弦相等 多边形的边相等 圆周角相等 多边形的角相等 多边形是正多边形 问题3将圆n n 3 等分 依次连接各等分点 所得到的多边形是正多边形吗 弧相等 将一个圆n n 3 等分 依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形 这个圆是这个正多边形的外接圆 正n边形的各顶点n等分其外接圆 O C D A O A B C D E F G H R r 正多边形外接圆的圆心 称其为正多边形的中心 外接圆的半径叫作正多边形的半径 中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等 叫作正多边形的中心角 60 120 120 90 90 90 120 60 60 正多边形的外角 中心角 完成下面的表格 想一想 问题4正n边形的中心角怎么计算 问题5正n边形的边长a 半径R 边心距r之间有什么关系 a R r 问题6边长a 边心距r的正n边形的面积如何计算 其中l为正n边形的周长 例1有一个亭子 它的地基是半径为4m的正六边形 求地基的周长和面积 精确到0 1m2 C D O E F A P 抽象成 典例精析 B 利用勾股定理 可得边心距 亭子地基的面积 4m O A B C D E F 解 过点O作OM BC于M 在Rt OMB中 OB 4 MB 亭子地基的周长l 6 4 24 m 2 作边心距 构造直角三角形 1 连半径 得中心角 圆内接正多边形的辅助线 1 如图 正方形ABCD是 O的内接正方形 点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点 则 BPC的度数是 度 练一练 45 2 如图 正八边形ABCDEFGH的半径为2 它的面积为 解 连接AO BO CO AC 正八边形ABCDEFGH的半径为2 AO BO CO 2 AOB BOC AOC 90 AC 此时AC与BO垂直 S四边形AOCB 正八边形面积为 问题7如何做一个正多边形呢 提示 圆与多边形的关系 只要将一个圆n等分 就可以得到正n边形 问题8如何将圆n等分呢 用量角器将圆心角n等分 就可以将圆n等分 例2用量角器画 O的内接正六边形 方法归纳用量角器画正n边形的一般方法 1 作圆 2 用量角器作的中心角 得圆的n等分点 3 依次连接各等分点 得圆的内接正n边形 分析 关键是用量角器画60 的中心角 60 典例精析 思考还有其它的方法可以作出 O的内接正六边形吗 例3已知 O的半径为r 求作 O的内接正六边形 分析 因为正六边形每条边所对的圆心角为 所以正六边形的边长与圆的半径 因此 在半径为r的圆上依次截取等于的弦 即可将圆六等分 60 相等 r A B C D E F 作法 1 在 O上以任意一点A为圆心 以r为半径画弧 连续截取点B C D E F 2 依次连接AB BC CD DE EF FA 则六边形ABCDEF即为所求 作法 1 作直径AC与BD 使AC BD 2 依次连接AB BC CD DA 则四边形ABCD就是所求作的 O的内接正方形 A B C D 方法归纳圆的内接正多边形有两种作法 1 用量角器作图 2 尺规作图 分析 因为正方形的中心角为 所以只要作两条互相的直径 就可将 O四等分 例4已知 O的半径为r 求作 O的内接正方形 90 垂直 问题9正三角形 正方形 正五边形 正六边形是否为轴对称图形 如果是轴对称图形 试画它们所有的对称轴 正三角形 奇数边 正方形 偶数边 正五边形 奇数边 正六边形 奇数边 讨论与归纳 1 正n边形 轴对称图形 共有 条对称轴 2 n为奇数时 n条对称轴过中心与 如上图中蓝色直线 3 n为为偶数时 n条对称轴中 n 2条过中心与 如上图中蓝色直线 n 2条过中心与边的 点 如上图中红色直线 是 n 顶点 顶点 中 问题10下列正多边形中哪些是中心对称图形 哪些是旋转对称图形 问题11如果是旋转对称图形 绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合 O O O O 归纳总结正n边形 n为偶数 是中心对称图形 它的对称中心就是这个正n边形的中心 120 90 72 60 1 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2 若正多边形的边心距与半径的比为1 2 则这个多边形的边数是 3 当堂练习 3 已知一个正多边形的每个内角均为108 则它的中心角为 度 72 4 下列说法正确的是 A 各边都相等的多边形是正多边形B 一个圆有且只有一个内接正多边形C 圆内接正四边形的边长等于半径D 圆内接正n边形的中心角度数为 D 6 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片 则选用的圆形铁片的直径最小要 cm 也就是要找这个正方形外接圆的直径 5 如图是一枚奥运会纪念币的图案 其形状近似看作为正七边形 则一个内