《导数及其应用》知识点总结

1 导数及其应用导数及其应用 知识点总结知识点总结 一 导数的概念和几何意义 1 函数的平均变化率 函数在区间上的平均变化率为 f x 12 x x 21 21 f xf x xx 2 导数的定义 设函数在区间上有定义 若无限趋近于 yf x a b 0 xa b x 0 时 比值无限趋近于一个常数 A 则称函数在处可导 00 f xxf xy xx f x 0 xx 并称该常数 A 为函数在处的导数 记作 函数在处的导数的 f x 0 xx 0 fx f x 0 xx 实质是在该点的瞬时变化率 3 求函数导数的基本步骤 1 求函数的增量 2 求平均 00 yf xxf x 变化率 3 取极限 当无限趋近与 0 时 无 00 f xxf x x x 00 f xxf x x 限趋近与一个常数 A 则 0 fxA 4 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率 由此 f x 0 xx yf x 00 xf x 可以利用导数求曲线的切线方程 具体求法分两步 1 求出在 x0处的导数 即为曲线在点处的切线的斜率 yf x yf x 00 xf x 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为 000 yyfxxx 当点不在上时 求经过点 P 的的切线方程 可设切点坐标 00 P xy yf x yf x 由切点坐标得到切线方程 再将 P 点的坐标代入确定切点 特别地 如果曲线在 yf x 点处的切线平行与 y 轴 这时导数不存在 根据切线定义 可得切线方程为 00 xf x 0 xx 5 导数的物理意义 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 则表示瞬时速度 表 S t VS t av t 示瞬时加速度 二 导数的运算 1 常见函数的导数 2 1 k b 为常数 2 C 为常数 kxbk 0C 3 4 1x 2 2xx 5 6 32 3xx 2 11 x x 7 8 为常数 1 2 x x 1 x x 9 10 ln 0 1 xx aaa aa 11 log log 0 1 ln aa xeaa xxa 11 12 xx ee 1 ln x x 13 14 sin cosxx cos sinxx 2 函数的和 差 积 商的导数 1 f xg xfxg x 2 C 为常数 Cf xCfx 3 f x g xfx g xf x g x 4 2 0 f xfx g xf x g x g x g x gx 3 简单复合函数的导数 若 则 即 yf uuaxb xux yyu xu yya 三 导数的应用 1 求函数的单调性 利用导数求函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导 yf x a b 1 如果恒 则函数在区间上为增函数 0fx yf x a b 2 如果恒 则函数在区间上为减函数 0fx yf x a b 3 如果恒 则函数在区间上为常数函数 0fx yf x a b 利用导数求函数单调性的基本步骤 求函数的定义域 求导数 yf x fx 解不等式 解集在定义域内的不间断区间为增区间 解不等式 解 0fx 0fx 集在定义域内的不间断区间为减区间 3 反过来 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题 如确定参数的取值范围 设函数在区间内可导 yf x a b 1 如果函数在区间上为增函数 则 其中使的值不构 yf x a b 0fx 0fx x 成区间 2 如果函数在区间上为减函数 则 其中使的值不构 yf x a b 0fx 0fx x 成区间 3 如果函数在区间上为常数函数 则恒成立 yf x a b 0fx 2 求函数的极值 设函数在及其附近有定义 如果对附近的所有的点都有 yf x 0 x 0 x 或 则称是函数的极小值 或极大值 0 f xf x 0 f xf x 0 f x f x 可导函数的极值 可通过研究函数的单调性求得 基本步骤是 1 确定函数的定义域 2 求导数 3 求方程的全部实根 f x fx 0fx 顺次将定义域分成若干个小区间 并列表 x 变化时 和值的 12n xxx fx f x 变化情况 x 1 x 1 x 12 x x n x n x fx 正负0正负0正负 f x 单调性单调性单调性 4 检查的符号并由表格判断极值 fx 3 求函数的最大值与最小值 如果函数在定义域 I 内存在 使得对任意的 总有 则称 f x 0 xxI 0 f xf x 为函数在定义域上的最大值 函数在定义域内的极值不一定唯一 但在定义域内的 0 f x 最值是唯一的 求函数在区间上的最大值和最小值的步骤 f x a b 1 求在区间上的极值 f x a b 2 将第一步中求得的极值与比较 得到在区间上的最大值与最 f af b f x a b 小值 4 解决不等式的有关问题 4 1 不等式恒成立问题 绝对不等式问题 可考虑值域 的值域是时 f x xA a b 不等式恒成立的充要条件是 即 0f x max 0f x 0b 不等式恒成立的充要条件是 即 0f x min 0f x 0a 的值域是时 f x xA a b 不等式恒成立的充要条件是 0f x 0b 不等式恒成立的充要条件是 0f x 0a 2 证明不等式可转化为证明 或利用函数的单调性 转化 0f x max