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第四节复合函数求导法则及其应用 一 复合函数求导法则 二 初等函数的求导问题 三 一阶微分的形式不变性 四 隐函数的导数 五 对数求导法 六 参数形式的函数的求导公式 一 复合函数求导法则 而函数在处可导 则复合函数 定理4 4 1 复合函数求导法则 设函数在可导 即 证明 由在可导也即可微 又由在可导 因此 而 于是 复合函数的求导法则可以写成 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求 导乘以中间变量对自变量求导 我们称它为链式法则 复合函数的微分公式为 解 例4 4 1 推广 解 例4 4 2 例4 4 3 解 二 初等函数的求导问题 1 常数和基本初等函数的导数公式 2 函数的和 差 积 商的求导法则 3 复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 注意 初等函数的导数仍为初等函数 例4 4 4 解 设函数有导数 1 若x是自变量时 三 一阶微分的形式不变性 2 若x是中间变量时 即是另一变量t的可微函数 则 结论 不论x是自变量还是中间变量 函数 的微分形式总是 例4 4 5 设 求 解 例4 4 6 设 求 四 隐函数的导数 解 定义4 4 1 由方程所确定的函数 称为隐函数 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分 例4 4 7 的导数 解 法一 方程两边对x求导 注 y看成x的函数 求由方程确定的隐函数 法二 方程两边同时求微分 例4 4 8 设曲线C的方程为 求过C上点的切线方程 并证明曲线C在该点 显然通过原点 解 所求切线方程为 的法线通过原点 五 对数求导法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 适用范围 例4 4 9 例4 4 10 六 参数形式的函数的求导公式 定义4 4 2 若参数方程确定x与y间的函数关系 问题 消参困难或无法消参的如何求导 即 由复合函数求导法则 也可以直接求微分 两边相除 得 例4 4 11 求摆线在处的切线方程 解 所求切线方程为 七 小结 复合函数求导法则 初等函数的求导问题 一阶微分的形式不变性 隐函数的导数 对数求导法 参数形式的函数的求导
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