2.1.3相等向量与共线向量

相等向量与共线向量 人教A版必修4 2 1 3 课堂导入 有向线段有哪3个要素 对于两个向量a b 它们的长度可能相等 也可能不相等 它们的方向可能相同 也可能不相同 思考 1 比较两个向量的长度和方向的异同关系 有哪几种可能情形 2 长度相等且方向相同的向量是什么关系 一 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 记作a b 提示 1 任意两个相等的非零向量 通过平移都可以用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 2 对一组相等的向量 将它们的起点平移到同一点O 则他们的终点重合 3 模相等 或方向相同 是向量相等的必要条件 模相等且方向相同是向量相等的充要条件 4 对于一个非零向量 只要不改变它的大小和方向 就可以任意平行移动 平移后的向量与原向量是相等向量 这为用向量处理几何问题带来了很大的方便 5 对于不共线的四点A B C D 若 则A B C D是一个平行四边行的四个顶点 6 相等向量具有传递性 即如果a b 且b c 那么a c 典例剖析 例1如下图 四边形ABCD和ABDE都是平行四边形 1 写出与向量相等的向量 2 若 3 求向量的模 规律 1 在图形背景下找相等向量 只要根据相等向量的定义 观察图形可直观得出结论 在逻辑分析中 要注意相等的传递性 2 一般地 当且仅当AB与BC同向时取等号 变式练习如下图 B C是线段AD的两个三等分点 在以图中各点为起点和终点的向量中 最多可以写出多少个互不相等的非零向量 并举例说明 设线段AD的长度为3 那么模为1的向量有6个 模为2的向量有4个 模为3的向量有2个 即共有12个向量 在模为1的向量中 不同的向量只能写2个 在模为2的向量中 不同的向量也只能写2个 模为3的向量是它们不相等 故最多可以写出6个互不相等的非零向量 例如 二 共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 因此 平行向量也叫做共线向量 疑似点提示 1 平行向量与共线向量是等价的同一个概念 只是名称不同而已 2 两个共线向量并不一定要在同一条直线上 只要两个向量的方向相同或相反 就是共线向量 3 两个共线向量a b所在直线 可能平行或重合 但不能相交 4 两个非零共线向量也包括以下四种情况 方向相同且模相等 方向相同且模不相等 方向相反且模相等 方向相反且模不相等 因此 共线向量不一定是相等向量 而相等向量一定是共线向量 典例剖析 例2判断下列命题的真假 1 若两个单位向量共线 则这两个单位向量相等 2 不相等的两个向量一定不共线 3 若a为非零向量 则与a相等的向量必与a共线 答案 1 假命题 两个单位向量共线 它们的方向可以相反 从而不一定相等 2 假命题 不相等的两个向量有可能其模不相等 但方向相同或相反 从而不相等的两个向量有可能个共线 3 真命题 相等向量其方向相同 从而一定是共线向量 规律 判断与共线向量有关的命题的真假 要依据共线向量或平行向量的定义 并结合图形 列举反例等进行评判 只要有一个反例与命题不符 则命题不正确 同时要注意零向量与任何向量共线这一特例 变式训练如下图 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD相交于点O 在向量等中 哪些向量是共线向量 A O C三点共线 是共线向量 B O D三点共线 是共线向量 AB DC 是共线向量 AD BC 是共线向量 例1 回答下列问题 1 平行向量是否一定方向相反 2 不相等向量是否一定不平行 3 与零向量相等的向量是什么向量 4 与任何向量都平行的向量是什么向量 5 若两向量在同一直线上 则它们是什么 6 非零向量相等的充要条件是什么 7 共线向量一定在一条直线上吗 理论迁移 如图 设O是正六边形ABCDEF的中心 分别写出图中与向量 相等的向量 变式一 1 与相等吗 2 与相等吗 O 例2 11个 例3 如图 在 ABC中 D E F分别是AB BC CA边上的点 已知AD DB DF BE 求证 AF DE 练习 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 向量与是共线向量 则A B C D四点必在一直线上 单位向量都相等 任一向量与它的相反向量 长度相同 方向相反的向量 不相等 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 2 下面几个命题 C A 0B 1C 2D 3 其中正确的个数是 3 某人从A点出发向东走了5米到达B点 然后改变方