天津大学《概率论与数理统计》4.2方差

4 2方差 一 方差的定义和计算 二 方差的性质 1 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量 实例有两批灯泡 其平均寿命都是E X 1000时 一 方差的定义和计算 设X是一随机变量 若E X E X 2 存在 则称其为随机变量X的方差 记为D X 或Var X 即 2 方差的定义 D X 描述随机变量X的取值偏离均值的平均偏离程度 数 关于方差的定义和计算作如下的说明 1 为什么用的均值来衡量随机变量X与均值的分散程度 如果用加绝对值的期望值来刻划随机变量X的分散程度 因计算不方便 故采用的期望来刻划随机变量X的分散程度 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量 2 方差的意义 如果D X 值大 表示X取值分散程度大 E X 的代表性差 而如果D X 值小 则表示X的取值比较集中 E X 的代表性好 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 4 随机变量方差的计算 1 利用定义计算 证明 2 利用公式计算 例1设甲 乙两射手在同样条件下进行射击 其命中环数分别用X Y表示 分布律分别为X10987Y109870 50 10 20 20 40 30 10 2 解 故从平均水平看 甲 乙的技术水平不相上下 由于E X2 80 7 E Y2 80 5 于是D X E X2 E X 2D Y E Y2 E Y 2 所以 从稳定性来看 射手乙的技术水平略高于射手甲 甲平均命中环数 试评定甲 乙的技术水平 乙平均命中环数 E X 10 0 5 9 0 1 8 0 2 7 0 2 8 9 环 E Y 10 0 4 9 0 3 8 0 1 7 0 2 8 9 环 进一步考虑他们射击的稳定性 即D X D Y 1 49 1 29 解 于是 例3设随机变量X具有 0 1 分布 则 E X p D X p 1 p 例4设X P 求D X 例5设X U a b 求D X 例6设X服从参数为 的指数分布 求E X D X E X b a 2 12 E X a b 2 1 1 2 假设下列方差均存在 推广 设X1 Xn是n个相互独立的随机变量 则 1 D C 0 C为常数 2 D CX C2D X C为常数 3 D X Y D X D Y 2E X E X Y E Y 特别 若X与Y相互独立 则D X Y D X D Y 二 方差的性质 4 D X 0 P X C 1 其中C E X 一般的 D aX b a2D X a b为常数 5 方差偏差程度最小性 例7设随机变量X有期望E X 方差D X 2 0 记 则 称为X的标准化变量 例8设X1 Xn相互独立 且服从同一参数为p的 0 1 分布 证明 X X1 Xn服从参数为n p的二项分布 并求E X D X 例2设X B n p 求D X 解一仿照上例求D X 解二引入随机变量 相互独立 故 例2 例3设X N 2 求D X 解 例3 例9设X N 2 则E X D X 2 则E Z 0 D Z 1 推广 Xi N i i2 i 1 2 n 则 特别 服从正态分布的随机变量的分布完全由其数学期望和方差所确定 注 例10设活塞的直径 以cm计 气缸的直径 X与Y相互独立 任取一只活塞 任取一只气缸 求活塞能装入气缸的概率 解由题意需求 由于 故有 例 1 设随机变量X与Y独立 且服从均值为1 标准差为的正态分布 而Y服从标准正态方布 试求随机变量Z 2X Y 3的概率密度函数 2 已知X Y相互独立同服从分布 求 21 解 1 由题意知 且X与Y相互独立 故X与Y的线性组合Z 2X Y 3仍服从正态分布 且 而 故 例4已知X Y相互独立 且都服从N 0 0 5 求E X Y 解 故 例4 例7已知X服从正态分布 E X 1 7 D X 3 Y 1 2X 求Y的密度函数 解 例7 在已知某些分布类型时 若知道其期望和方差 便常能确定分布 例8已知X的d f 为 其中A B是常数 且E X 0 5 求A B 设Y X2 求E Y D Y 例8 解 1