12.11勾股定理

12 11勾股定理 第十二章三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 经历勾股定理的探究过程 了解关于勾股定理的一些文化历史背景 会用面积法来证明勾股定理 体会数形结合的思想 重点 2 会用勾股定理进行简单的计算 难点 其他星球上是否存在着 人 呢 为了探寻这一点 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号 如地球上人类的语言 音乐 各种图形等 导入新课 情景引入 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议 发射 一种勾股定理的图形 如图 很多学者认为如果宇宙 人 也拥有文明的话 那么他们一定会认识这种语言 因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解 讲授新课 我们一起穿越回到2500年前 跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客 看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面 如图 问题1试问正方形A B C面积之间有什么样的数量关系 一直角边2 另一直角边2 斜边2 问题2图中正方形A B C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系 问题3在网格中一般的直角三角形 以它的三边为边长的三个正方形A B C是否也有类似的面积关系 观察下边两幅图 每个小正方形的面积为单位1 这两幅图中A B的面积都好求 该怎样求C的面积呢 方法1 补形法 把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形 左图 右图 方法2 分割法 把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形 左图 右图 你还有其他办法求C的面积吗 根据前面求出的C的面积直接填出下表 4 13 25 9 16 9 思考正方形A B C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 两直角边的平方和等于斜边的平方 由上面的几个例子 我们猜想 下面动图形象的说明命题1的正确性 让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想 a b b c a b c a 证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图 再用所拼的图形证明命题吧 a b c S大正方形 c2 S小正方形 b a 2 S大正方形 4 S三角形 S小正方形 赵爽弦图 b a 证明 赵爽弦图 表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智 它是我国古代数学的骄傲 因为 这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽 证法2毕达哥拉斯证法 请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图 然后分析其面积关系后证明吧 a2 b2 2ab c2 2ab a2 b2 c2 证明 S大正方形 a b 2 a2 b2 2ab S大正方形 4S直角三角形 S小正方形 4 ab c2 c2 2ab a a b b c c a2 b2 c2 证法3美国第二十任总统伽菲尔德的 总统证法 如图 图中的三个三角形都是直角三角形 求证 a2 b2 c2 在我国又称商高定理 在外国则叫毕达哥拉斯定理 或百牛定理 a b c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 公式变形 勾股定理 a b c 归纳总结 在中国古代 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾 下半部分称为 股 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为 股 斜边称为 弦 勾2 股2 弦2 小贴士 例1如图 在Rt ABC中 C 90 1 若a b 5 求c 2 若a 1 c 2 求b 2 据勾股定理得 变式题 在Rt ABC中 AB 4 AC 3 求BC的长 解 本题斜边不确定 需分类讨论 当AB为斜边时 如图 当BC为斜边时 如图 图 图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时 其中一较长边可能是直角边 也可能是斜边 这种情况下一定要进行分类讨论 否则容易丢解 例2已知 ACB 90 CD AB AC 3 BC 4 求CD的长 解 由勾股定理可得AB2 AC2 BC2 25 即AB 5 根据三角形面积公式 AC BC AB CD CD 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积 它常与勾股定理联合使用 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt ABC中 C 90 a b为直角边 c为斜边 则有a2 b2 c2 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 练一练 求下列图中未知数x y的值 解 由勾股定理可得81 144 x2 解得x 15 解 由勾股定理可得y2 144 169 解得y 5 当堂练习 1 下列说法中 正确的是 A 已知a b c是三角形的三边 则a2 b2 c2B 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C 在Rt ABC中 C 90 所以a2 b2 c2D 在Rt ABC中 B 90 所以a2 b2 c2 C 2 图中阴影部分是一个正方形 则此正方形的面积为 36cm 3 在 ABC中 C 90 1 若a 15 b 8 则c 2 若c 13 b 12 则a 4 若直角三角形中 有两边长是5和7 则第三边长的平方为 17 5 74或24 5 求斜边长17cm 一条直角边长15cm的直角三角形的面积 解 设另一条直角边长是xcm 由勾股定理得152 x2 172 即x2 172 152 289 225 64 x 8 负值舍去 另一直角边长为8cm 直角三角形的面积是 cm2 6 如图 在 ABC中 AD BC B 45 C 30 AD 1 求 ABC的周长 解 AD BC ADB ADC 90 在Rt ADB中 B BAD 90 B 45 B BAD 45 BD AD 1 AB 在Rt ADC中 C 30 AC 2AD 2 CD BC BD CD 1 ABC的周长 AB AC BC 解 AE BE S ABE AE BE AE2 又 AE2 BE2 AB2 2AE2 AB2 S ABE AB2 同理可得S AHC S BCF AC2 BC2 又 AC2 BC2 AB2 阴影部分的面积为AB2 7 如图 以Rt ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形 若斜边AB 3 求 ABE及阴影部分的面积 能力提升 1 若a b 1 2 c 5 求a 2 若b