全等三角形推理拔高经典题目

1 截长补短 倍长中线截长补短 倍长中线 1 已知 如图 AD BE 是 ABC 的高 AD 和 EB 的延长线相交于 H 且 BH AC 求证 AD DH BC 2 如图 四边形 ABCD 中 BE 平分 ABC 交 CD 于 E 且 DE CE AB AD BC 求证 AD BC 3 已知 如图 AD 是 ABC 的中线 AB AE AC AF BAE FAC 90 试探究线段 AD 与 EF 数量和位置关系 H E D C B A D E F A BC E E D D C C B B A A 2 4 若 ABC 中 AB AC ABC ACB CE 是 AB 边上的中线 延长 AB 到 D 使 BD AB 设 CE a CD b 求 之间的数量关系ba 5 如图 D 是 ABC 的 BC 边上一点且 CD AB BDA BAD AE 是 ABD 的中线 求证 C BAE 6 如图 ABC 中 A 2 B AB 2AC 求证 C 90 E ED DC CB B A A C C B B A A 3 全等训练全等训练 1 已知 正方形ABCD中 45MAN MAN 绕点A顺时针旋转 它的两边分别交 CBDC 或它们的延长线 于点MN 当MAN 绕点A旋转到BMDN 时 如图 1 易证BMDNMN 1 当MAN 绕点A旋转到BMDN 时 如图 2 线段BMDN 和MN之间有怎样的数 量关系 写出猜想 并加以证明 2 当MAN 绕点A旋转到如图 3 的位置时 线段BMDN 和MN之间又有怎样的数量关 系 请直接写出你的猜想 2 ABC 中 AB AC BC DCB 中 DC DB BDC 120 E F 分别为 AB AC 上的点 EDF 60 求证 EF BE CF 3 已知中 为边的中点 绕点旋RtABC 90ACBCCD AB90EDF EDF D 转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 ACCBEF 1 当绕点旋转到于时 如图 1 易证EDF DDEAC E 1 2 DEFCEFABC SSS 2 当绕点旋转到不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 EDF DDEAC和 若成立 请给予证明 若不成立 又有怎样的数量关系 请写出你的猜 DEF S CEF S ABC S 想 不需证明 BB MB C N C N M C N M 图 1图 2 图 3 AAADDD A C B D E F 4 4 已知 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 且 60 120 P 为 ABC 内部一点 且 PC AC PCA 120 1 用含的代数式表示 APC 得 APC 2 求证 BAP PCB 3 求 PBC 的度数 5 数学课上 张老师提出问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中点 90AEF 且 EF 交正方形外角的平行线 CF 于点 F 求证 AE EF DCG 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 在此基础上 同学们作了进一步的研究 AMEECF AEEF 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的任意 一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为 小颖的观点正确吗 如果正确 写出 证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明 理由 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 6 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 且 DCB EBC A BE CD 交于点 O 求 1 2 证 BD CE BC P A B O A D E C 5 FM P E D C B A 7 如图 在 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 8 已知 如图 AF平分 BAC BC AF 垂足为E 点D与点A关于点E对称 PB分别与线段CF AF 相交于P M 1 求证 AB CD 2 若 BAC 2 MPC 请你判断 F与 MCD的数量关系 并说明理由 9 如图 1 直线 l1 y 3x 3 与 x 轴交于 B 点 与直线 l2交于 y 轴上一点 A 且 l2与 x 轴的交点为 C 1 0 1 求证 ABC ACB 2 如图 2 过 x 轴上一点 D 0 作 DE AC 于 E DE 交 y 轴于 F 点 交 AB 于 G 点 求 点坐标 3 3 如图 3 将 ABC 沿 x 轴向左平移 AC 边与 y 轴交于一点 P P 不同于 A C 两点 过 P 点作一直 线与 AB 的延长线交于 Q 点 与 x 轴交于 M 点 且 CP BQ 在 ABC 平移的过程中 线段 OM 的长度是 否发生变化 若不变 求其长度 若变化 确定其变化范围 F O M D y y y x x x O P Q E G C C C B B B A A A O 图 2 图 3 图 1 F O M D y y y x x x O P Q E G C C C B B B A A A O 图 2 图 3 图 1 6 10 如图 已知 AD 是 ABC 的中线 BE 交 AC 于 E 交 AD 于 F 且 AE EF 求证 AC BF 11 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 为 ABC 外一点 ABD 60 ADB 90 BDC 1 2 求证 AB BD DC 12 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 是对角线 AB AC ABD 60 过 D 作 ED AD 交 AC 于点 E 恰有 DE 平分 BDC 试判断线段 CD BD 与 AC 之间有怎样的数量关系 并证明你的结论 A B C D E F C ED B A C ED B A 7 13 已知四边形中 ABCDABAD BCCD ABBC 120ABC 60MBN 绕点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 MBN BADDC EF 当绕点旋转到时 如图 1 易证 MBN BAECF AECFEF 当绕点旋转到时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 若成立 请 MBN BAECF 给予证明 若不成立 线段 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 AECF EF 14 在等边三角形 ABC 中 点 E 在 AB 上 点 D 在 CB 的延长线上 且 ED EC 如图 试确定线段 AE 与 DB 的大小关系 并说明理由 15 如图 1 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D AF 平分 CAB 交 CD 于点 E 交 CB 于点 F 1 求证 CE CF 2 将图 1 中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A D E 的位置 使点 E 落在 BC 边上 其它条件不变 如图 2 所示 试猜想 BE 与 CF 有怎样的数量关系 请证明你的结论 图 1 A B CD E F M N A B CD E F M N A B C D E F M N 图 2 图 3 图 1 图 2 8 16 我们知道 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 类似地 我们定义 至少有一组对边相等的四 边 形叫做等对边四边形 1 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称 2 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 设 CD BE 相交于点 O 若 A 60 DCB EBC A 1 2 请你写出图中一个与 A 相等的角 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形 3 在 ABC 中 如果 A 是不等于 60 的锐角 点 D E 分别在 AB AC 上 且 DCB EBC A 1 2 探究 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形 并证明你的结论 17 在四边形 ABCP 中 BP 平分 ABC PD BC 于 D 且 AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180o 18 已知 点 O 到 ABC 的两边 AB AC 所在直线的距离相等 且 OB OC 1 如图 1 若点 O 在 BC 上 求证 AB AC 2 如图 2 若点 O 在 ABC 的内部 求证 AB AC 3 若点 O 在 ABC 的外部 AB AC 成立吗 请画图表示 B O A D